Matriz inversa 04

Dada la matriz:

a)  ¿Para qué valores de k tiene inversa?

b)  Hallar rango (A(k)) según los valores de k.

c)  Hallar (A(2))^–1.

Solución:

a)  Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que det (A) sea diferente de cero. Por tanto, lo primero que haremos es hallar el valor del determinante, restando a la segunda columna la primera y después  desarrollando por los adjuntos de la segunda fila.

Ahora, averiguaremos para que valores de k, el determinante es igual a cero.

(–1) k·(k – k²) = 0 → k² (k – 1) = 0 

Primera solución:

k² = 0 → k = 0 → det (A) = 0

Segunda solución:

k – 1 = 0 → k = 1 → det (A) = 0

La matriz dada tiene inversa "kÎÂ – {0, 1}.

b)  Si k ≠ 0 y k ≠ 1, rg (A(k)) =3.  

Si k = 0:

Si k = 1:

c)  Matriz inversa:

Los elementos de la anterior matriz son los adjuntos de la matriz inicial y sus valores son:

Veamos si se cumple que A·A^–1 = I:

Luego, sí se cumple.