Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Matriz inversa 04

    Posted on julio 9th, 2012 Miralles No comments

     

    Dada la matriz:

     

     

     

    a)  ¿Para qué valores de k tiene inversa?

     

    b)  Hallar rango (A(k)) según los valores de k.

    c)  Hallar (A(2))–1.

     

     

    Solución:

    a)  Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que det (A) sea diferente de cero. Por tanto, lo primero que haremos es hallar el valor del determinante, restando a la segunda columna la primera y después  desarrollando por los adjuntos de la segunda fila.

     

     

     

    Ahora, averiguaremos para que valores de k, el determinante es igual a cero.

     

    (–1) k·(k – k2) = 0 k2 (k – 1) = 0 

     

    Primera solución:

     

    k2 = 0 k = 0 det (A) = 0

     

    Segunda solución:

     

    k – 1 = 0 k = 1 det (A) = 0

     

    La matriz dada tiene inversa "kÎÂ{0, 1}.

     

    b)  Si k ≠ 0 y k ≠ 1, rg (A(k)) =3.  

    Si k = 0:

     

     

     

    Si k = 1:

     

     

     

    c)  Matriz inversa:

     

     

     

    Los elementos de la anterior matriz son los adjuntos de la matriz inicial y sus valores son:

     

     

     

    Veamos si se cumple que A·A–1 = I:

     

     

     

    Luego, sí se cumple.

     

     

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