Rango de una matriz 02

Halla los valores de k para que la matriz:

a)  No tenga inversa.

b)  Tenga rango 2

c)  Tenga rango 3.

Solución:

Antes de contestar a los diferentes apartados hallaremos un matriz triangular equivalente a la matriz dada.

A las filas 2ª, 3ª y 4ª les restamos la 1ª.

A la 4ª fila le restamos la 3ª y a la 3ª le restamos la 2ª multiplicada por (k+4)/3.

A la tercera se le suma la cuarta

A la 4ª fila le restamos la 3ª multiplicada por k.

Ahora estudiaremos el rango de la matriz hallada para los diferentes valores de k.

Si k = 0 o k = 3, el rango de la matriz es menor de 4.

 Si k = 0 la matriz queda:

Dividimos la 2ª fila por –3 y la intercambiamos por la primera.

A la 2ª fila le restamos la primera multiplicada por 4.

A la 3ª fila le sumamos la 2ª.

Rango 3.

Si k = 3 la matriz queda:

Rango 3

Conclusión:

a)  Si k = 0 o k = 3, la matriz no tiene inversa.

b)  La matriz nunca tiene rango 2

c)  Si k = 0 o k = 3, el rango de la matriz es 3.