Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Resolución de sistemas no homogénos. Método de Gauss 01

    Posted on octubre 17th, 2011 Miralles No comments

     

    Resuelve, utilizando el método de Gauss, el sistema siguiente:

     

    x + 3y – z = 2

    2x + 4y + 4z = 20

    –x        + 2z = 4

     

    Solución:

     

    Lo que se pretende con este método es conseguir un sistema escalonado, luego anularemos los coeficientes de x en la segunda y tercera ecuaciones, para lo cual, primero, dividiremos por –2 la segunda ecuación y sumaremos el resultado a la primera.

     

         x + 3y – z = 2 

        –x – 2y – 2z = –10

                y – 3z = –8

     

    Ahora tenemos el siguiente sistema, equivalente al dado.

     

    x + 3y – z = 2

              y – 3z = –8

    –x       + 2z = 4

     

    Para eliminar la tercera ecuación sumaremos ésta, con la primera.

     

        x + 3y – z = 2

       –x       + 2z = 4

               3y +  z = 6

     

    Hemos obtenido el siguiente sistema, equivalente a los dos primeros, pero sin que aparezca la incógnita x en ninguna de las dos últimas ecuaciones:

     

    x + 3y – z = 2

              y – 3z = –8

            3y + z = 6

     

    Ahora basta con eliminar una de las incógnitas de la tercera ecuación, por ejemplo y, para lo cual, multiplicaremos la segunda ecuación por –3 y el resultado se lo sumaremos a la tercera.

        –3y + 9z = 24

       3y  +  z = 6

                10z = 30

     

    De esta forma hemos obtenido el siguiente sistema equivalente a los anteriores:

     

    x + 3y – z = 2

              y – 3z = –8

                  10z = 30

     

    De la tercera ecuación resulta z = 3. Sustituyendo en la segunda ecuación hallaremos el valor de y:

    y – 9 = –8 y = 1

     

    Sustituyendo, en la primera ecuación, los valores encontrados de z e y averiguaremos el de x.

    x + 3 – 3 = 2 x = 2

     

     

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