Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Principio de inducción completa 03

    Posted on octubre 13th, 2011 Miralles No comments

     

    Demuestra por el método de inducción completa que:

     

    1·1! + 2·2! +….+ n·n! = (n + 1)! – 1

     

     

    Solución:

     

    Comprobemos si la expresión se cumple para los primeros términos:

     

    Si: n = 1 1·1! = (1 + 1)! – 1 1·1 = 2! – 1 1 = 2·1 – 1 1 = 1 

     

    Si: n = 2 1·1! + 2·2! = (2 + 1)! – 1 1 + 4 = 3·2·1 – 1 5 = 5

     

    Supongamos que se cumple para n, y veamos si se verifica para n + 1, es decir, que:

     

    1·1! + 2·2! +….+ n·n! + (n + 1) (n + 1)! = (n + 2)! – 1

     

    Según la hipótesis: 1·1! + 2·2! +….+ n·n! = (n + 1)! – 1, por lo tanto, si sustituimos en el primer miembro de la anterior expresión, tenemos que:

     

    1·1! + 2·2! +….+ n·n! + (n + 1) (n + 1)! = (n + 1)! – 1 + (n + 1) (n + 1)! =

     

    = (n + 1)! [1 + (n +1)] – 1 = (n + 1)! (n + 2) – 1 = (n + 2)! – 1

     

    como se quería demostrar.

     

     

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