Principio de inducción completa 02

Demuestra por el método de inducción completa que:

1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) = n².

Solución:

Comprobemos si la expresión se cumple para los primeros términos:

Si: n = 1 → 1 = 1²

Si: n = 2 → 1 + 3 = 2² → 4 = 4

Supongamos que se cumple para n, y veamos si se verifica para n + 1, es decir, que:

1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) + [2(n+1) – 1] = (n + 1)²   

Según la hipótesis: 1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) = n², por lo tanto, si sustituimos en el primer miembro de la anterior expresión, tenemos que:

1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) + [2(n+1) – 1] = n² + [2(n+1) – 1] =

= n² + 2n + 2 – 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)²

como se quería demostrar.