Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Principio de inducción completa 02

    Posted on octubre 10th, 2011 Miralles No comments

     

    Demuestra por el método de inducción completa que:

     

    1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) = n2.

     

     

    Solución:

     

    Comprobemos si la expresión se cumple para los primeros términos:

     

    Si: n = 1 1 = 12

     

    Si: n = 2 1 + 3 = 22 4 = 4

     

    Supongamos que se cumple para n, y veamos si se verifica para n + 1, es decir, que:

     

    1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) + [2(n+1) – 1] = (n + 1)2   

     

    Según la hipótesis: 1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) = n2, por lo tanto, si sustituimos en el primer miembro de la anterior expresión, tenemos que:

     

    1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) + [2(n+1) – 1] = n2 + [2(n+1) – 1] =

     

    = n2 + 2n + 2 – 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

     

    como se quería demostrar.

     

     

     

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