El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas

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Principio de inducción completa 02
Posted on octubre 10th, 2011 No commentsDemuestra por el método de inducción completa que:
1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) = n2.
Solución:
Comprobemos si la expresión se cumple para los primeros términos:
Si: n = 1 → 1 = 12
Si: n = 2 → 1 + 3 = 22 → 4 = 4
Supongamos que se cumple para n, y veamos si se verifica para n + 1, es decir, que:
1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) + [2(n+1) – 1] = (n + 1)2
Según la hipótesis: 1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) = n2, por lo tanto, si sustituimos en el primer miembro de la anterior expresión, tenemos que:
1 + 3 + 5 + 7 +….+ (2n – 1) + [2(n+1) – 1] = n2 + [2(n+1) – 1] =
= n2 + 2n + 2 – 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
como se quería demostrar.
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