Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Principio de inducción completa 01

    Posted on octubre 6th, 2011 Miralles No comments

     

    Demuestra por el método de inducción completa que: 2 + 4 + 6 +….+ 2n = n2 + n.

     

    Solución:

     

    Comprobemos si la expresión se cumple para los primeros términos:

     

    Si: n = 1 2 = 12 + 1 = 2

     

    Si: n = 2 2 + 4 = 22 + 2 6 = 6

     

    Supongamos que se cumple para n, y veamos si se verifica para n + 1, es decir, que:

     

    2 + 4 + 6 +….+ 2n + 2(n +1) = (n + 1)2 + (n + 1)

     

     Según la hipótesis: 2 + 4 + 6 +….+ 2n = n2 + n, por lo tanto, si sustituimos en el primer miembro de la anterior expresión, tenemos que:

     

    2 + 4 + 6 +….+ 2n + 2(n +1) = n2 + n + 2(n + 1) = n2 + n + 2n + 2 =

     

    = (n2 + 2n + 1) + n + 1 = (n + 1)2 + (n + 1)

     

    como se quería demostrar.

     

     

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