Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y representación de funciones 04

    Posted on julio 28th, 2011 Miralles No comments

     

    Hacer un estudio gráfico completo de la función:

     

     

    Solución:

    Dominio:

     

    Simetría:

     

    La función es impar, por tanto es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

     

    Corte con los ejes:

    Con el eje X:

     

    Con el eje Y:

     

    Luego el único corte con los ejes es el punto (0, 0)

     

    Signo de f o regiones de existencia:

    Mediante el signo de f podemos saber si la gráfica se encuentra por encima o por debajo del eje de abscisas. Para ello daremos a x valores que se encuentren a la izquierda y a la derecha de los puntos de corte con el eje X y a los que no pertenecen al dominio de la función (puntos de discontinuidad), fijándonos en el signo que toma la función, para dichos valores de x.

     

    f(x) es negativa (–, –1) υ (0, 1) y positiva en (–1, 0) υ (1, +∞)

     

    Es decir, que entre menos infinito y menos uno la gráfica se encuentra por debajo del eje X, entre menos uno y cero por encima, entre cero y uno por debajo y finalmente entre uno e infinito por encima.

     

    Regiones de existencia:

     

     

    Asíntotas:

    Asíntotas verticales:

     

    Las rectas x = –1 y x =1 son asíntotas verticales.

    Asíntotas horizontales:

     

    La función no tiene asíntota horizontal.

    Asíntotas oblicuas:

    Si la recta y = mx + n es una asíntota oblicua:

     

    Por tanto:

     

    Luego y = x es una asíntota oblicua.

    Monotonía. Máximos y mínimos:

     

    Para estudiar el signo de la derivada de la forma más abreviada posible, se ha de tener en cuenta que todo termino que esté elevado al cuadrado da siempre como resultado un número positivo, por tanto el único término que nos indicará el signo es: (x2 – 3); sin olvidar los puntos críticos, o sea, los valores de x que anulan el denominador de la fracción de la derivada.

     

    La función es creciente en:

     

    La función es decreciente en:

     

    Coordenadas del máximo:

     

    Coordenadas del mínimo:

     

    Curvatura y puntos de inflexión:

     

    La función es cóncava en:

     

    La función es convexa en:

     

    Coordenadas del punto de inflexión:

    x = 0 f(0) = 0 C(0, 0)

    Alguno de los resultados anteriormente obtenidos eran evidentes, ya que la gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

    Representación gráfica:

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