Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y representación de funciones 03

    Posted on julio 25th, 2011 Miralles No comments

     

    Representa gráficamente la siguiente función indicando: Dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento – decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

     

     

    Solución:

    Dominio:      

    Puntos de corte:

     

    En el punto (0, –4) la gráfica corta al eje Y, y en los puntos (–2, 0) y (2, 0) al eje X.

    Asíntotas:

    Verticales:

     

    La recta x = –1, es una asíntota vertical (en ese punto existe una discontinuidad asintótica)

    Horizontales:

     

    No tiene asíntotas horizontales.

    Oblicuas:

    Si la recta y = mx + n es una asíntota oblicua:

     

    La recta y = x – 1 es una asíntota oblicua.

    Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos:

     

    La función no tiene máximos ni mínimos, por tanto, para estudiar su crecimiento y decrecimiento utilizaremos los puntos críticos, es decir, los que anulan el denominador de la función derivada y, además, tendremos en cuenta que como el denominador está elevado al cuadrado, siempre es positivo, luego únicamente se ha de estudiar el signo del numerador.

    f’(–2) = (–2)2 + 2·(–2) + 4 = 4 > 0

     

    f’(0) = 0 + 2·0 + 4 = 4 > 0

     

     

    La función es creciente en todo su dominio.

     

    Puntos de inflexión:

     

    La gráfica no tiene puntos de inflexión ya que la derivada segunda no puede ser igual a cero, pues el numerador de la última fracción nunca puede ser igual a cero.

             Gráfica:

     

     

     

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