Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y representación de funciones 02

    Posted on julio 21st, 2011 Miralles No comments

     

    Representa gráficamente la siguiente funciones indicando: Dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento – decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

     

     

     

    Solución:

    Dominio:      

     

    Puntos de corte:

     

     

    En el punto (0, 0) la gráfica corta a ambos ejes.

    Asíntotas:

    Verticales: Para hallar las asíntotas verticales, estudiaremos los límites laterales en los puntos que no pertenecen al dominio de la función.

     

     

    Las rectas x = –4 y x = 4, son asíntotas verticales (en estos puntos existen discontinuidades asintóticas)

     

    Horizontales:

     

     

    La recta y = 0, es una asíntota horizontal.

     

    La gráfica corta a la asíntota horizontal en el punto (0, 0).

     

    Oblicuas:

     

    No tiene, ya que el grado del numerador de la fracción no es una unidad mayor que el grado del denominador de la fracción.

     

    Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos:

     

     

     

    La función no tiene máximos ni mínimos, por tanto, para estudiar su crecimiento y decrecimiento utilizaremos los puntos críticos, es decir, los que anulan el denominador de la función derivada y, además, tendremos en cuenta que como el denominador está elevado al cuadrado, siempre es positivo, luego únicamente se ha de estudiar el signo del numerador.

     

    f’(–5) = –(–5)2 – 16 = –41 < 0

     

    f’(0) = 0 – 16 = –16 < 0

     

    f’(5) = –52 – 16 = –41 < 0

     

     

     

    La función es decreciente en todo su dominio.

     

    Puntos de inflexión:

     

     

    La función cambia de curvatura a la izquierda y a la derecha de cero, luego en x= 0 existe un punto de inflexión; por tanto (0, 0) es un punto de inflexión.

    Gráfica:

     

     

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