Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y representación de funciones 01

    Posted on julio 18th, 2011 Miralles No comments

     

    Representa gráficamente la siguiente función indicando: Dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento – decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

    y = x3 – 3x2 + x + 2

     

    Solución:

    Dominio:      

    Por tratarse de una función polinómica:

     

    Puntos de corte:

    Los puntos de corte de la función con el eje Y tienen por abscisa, x = 0, por tanto:

    x = 0 y = 2

    En el punto (0, 2) la gráfica corta al eje Y.

    Los puntos de corte de la función con el eje X tienen por ordenada, y = 0, luego:

    y = 0 x3 – 3x2 + x + 2 = 0

    Para resolver la anterior ecuación lo haremos por Ruffini, teniendo en cuenta que x= 2, el una raíz de la misma.

     

    En los puntos:

     

    la gráfica corta al eje X.

    Asíntotas:

    Verticales: En una función existe asíntota vertical en x = a si:

     

    La función dada no tiene asíntota vertical.

    (Por lo general, las asíntotas verticales son rectas normales al eje X en los puntos que no pertenecen al domino de la función)

    Horizontales:

    Si:

     

    La recta y = k, es una asíntota horizontal (k es un valor finito).

     

    no tiene asíntotas horizontales.

    Oblicuas:

    Si la recta y = mx + n es una asíntota oblicua:

     

    Por tanto:

     

    por ser mayor el grado del numerador que el del denominador. Luego no tiene asíntotas oblicuas.

    Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos:

    y’ = 3x2 – 6x + 1

    y’ = 0 3x2 – 6x + 1 = 0

     

     f’(0) = 1 > 0

    f’(1) = 3 – 6 + 1 = –2 < 0

    f’(2) = 12 – 12 + 1 = 1 > 0

     

    f(x) es creciente en:

     

    f(x) es decreciente en:

     

    En:

     

    existe un máximo.

    En:

     

    existe un mínimo.

    Ahora hallaremos la ordenada del máximo y del mínimo.

    Coordenadas del máximo:

     

    Coordenadas del mínimo:

     

    Puntos de inflexión:

    y” = 6x – 6

    y” = 0 6x – 6 = 0 6x = 6 x = 6/6 =1

    y”(0) = – 6 < 0

    y”(2) = 12 – 6 = 6 > 0

     

    A la izquierda y a la derecha de x =1 la función cambia de curvatura, luego existe un punto de inflexión.

    Coordenadas del punto de inflexión:

    f(1) = 13 – 3·12 + 1 + 2 = 1

    (1, 1)

    Gráfica:

     

     

     

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