Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 10

    Posted on julio 14th, 2011 Miralles No comments

     

    Se quiere construir una ventana rectangular de 1 m2 para un granero. Debido a la estructura del granero, el coste de colocación del marco se estima en 1,25 € por cada metro de altura de la ventana y 0,80 € por cada metro de anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la ventana para que el marco sea el más económico?

     

     

    Solución:

    Área de la ventana:

    x·y = 1

    Coste del marco:

    C = 0,80x + 1,25y + 0,80x + 1,25y = 1,6x + 2,5y

     

    Despejando y en la ecuación del área y sustituyendo en la del coste, tenemos que:

     

    y = 1/x C = 1,6x + 2,5 (1/x)

    Derivando:

    C’ = 1,6 + 2,5 (-1/x2) = (1,6x2 – 2,5)/x2

    C’ = 0  1,6x2 – 2,5 = 0  1,6x2 = 2,5  x2 = 2,5/1,6 = 25/16

    x = 5/4 = 1,25

     

    Veamos si se trata de un mínimo aplicando el criterio de la segunda derivada.

     

    C” = 2,5 (2x/x4) = 5/x3

     

    C”(1,25) = 5/1,253>0

     

    Luego x = 1,25 es un mínimo.

     

    Ahora hallaremos el valor de y:

     

    y = 1/1,25 = 0,8

     

    Para que el marco sea el más económico posible, sus dimensiones han de ser 1,25 metros de largo por 0,8 metros de alto.

     

     

     

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