Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 09

    Posted on julio 11th, 2011 Miralles No comments

      

     

    Qué camino hay que tomar para llegar de O a A,  para que el tiempo invertido sea el menor posible, si la velocidad media que se puede alcanza al circular por el área encerrada por los punto O, P, S y Q es:

    v1 = 2 km/h

    y la velocidad media en la superficie de vértices Q, S, A y R es:

     

     

     

     Solución:

     

     

     

     

    Por Física sabemos que e= v t, luego, t = e/v; por tanto, el tiempo total será el que se tarde de ir de O a B más el que se invierta de B a A, es decir:

    t = (OB/v1) + (BA/v2)

    Para hallar las distancias OB y BA utilizaremos el teorema de Pitágoras.

    Distancia de O a B:

    siendo x la longitud de O a C.

    Distancia de B a A:

     

     

    Por tanto:

    Derivando:

     

     

     

     

    Las posibles soluciones enteras de la anterior ecuación son los divisores del término independiente. Si probamos con x = 5 y aplicamos el teorema del resto, tenemos que:

    54 – 16·53 + 23·52 + 800·5 – 3200 = 0

    Por tanto, x = 5 es una raíz entera. Veamos si se trata de un mínimo:

    t’(4) = 44 – 16·43 + 23·42 + 800·4 – 3200 = –400<0

    t’(6) = 64 – 16·63 + 23·62 + 800·6 – 3200 = 268>0

    En x = 5 existe un mínimo ya que la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha y en dicho punto la derivada se anula.

     

    Por tanto para que el tiempo invertido para ir de O a A sea el mínimo, hay que pasar por el punto B cuyas coordenadas son (5, 5).

    Otras posibilidades serían OQRA y OPSA, veamos lo que ocurriría:

    En el primer caso el tiempo tardado es:

    El segundo caso:

     

    Veamos lo que ocurre en el recorrido OBA:

    Esto confirma que el resultado obtenido inicialmente es en el que se invierte menos tiempo, es decir, OBA.

     

     

     

     

     

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