Problemas de optimización 08

Descomponer el número 44 en dos sumandos, tales que el quíntuplo del cuadrado del primero, más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo.

Solución:

Si el primer sumando es x el segundo será 44 – x, con 0<x<44, luego:

f(x) = 5x² + 6(44 – x)² = 5x² + 6(1936 – 88x + x²)

f(x) = 5x² + 11616 – 528x + 6x²

f(x) = 11x² – 528 x + 11616

Ahora derivaremos:

f’(x) = 22x – 528

La condición necesaria, no suficiente, para que en un punto exista un mínimo es que la derivada de la función en dicho punto sea igual a cero, luego:

f’(x) = 0 → 22x – 528 = 0

22x = 528 → x = 528/22 = 24

En los problemas de optimización, lo que se necesita averiguar son los extremos absolutos de la función, no los relativos, por tanto:

f(0) = 11616           f(24) = 5280          f(44) = 9680

El valor mínimo se alcanza para x = 24, luego los números son el 24 y el 20 (44 – 24 = 20)