Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 08

    Posted on julio 7th, 2011 Miralles No comments

     

    Descomponer el número 44 en dos sumandos, tales que el quíntuplo del cuadrado del primero, más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo.

     

     

    Solución:

     

    Si el primer sumando es x el segundo será 44 – x, con 0<x<44, luego:

     

    f(x) = 5x2 + 6(44 – x)2 = 5x2 + 6(1936 – 88x + x2)

     

    f(x) = 5x2 + 11616 – 528x + 6x2

     

    f(x) = 11x2 – 528 x + 11616

     

    Ahora derivaremos:

     

    f’(x) = 22x – 528

     

    La condición necesaria, no suficiente, para que en un punto exista un mínimo es que la derivada de la función en dicho punto sea igual a cero, luego:

     

    f’(x) = 0 22x – 528 = 0

     

    22x = 528 x = 528/22 = 24

     

    En los problemas de optimización, lo que se necesita averiguar son los extremos absolutos de la función, no los relativos, por tanto:

    f(0) = 11616           f(24) = 5280          f(44) = 9680

    El valor mínimo se alcanza para x = 24, luego los números son el 24 y el 20 (44 – 24 = 20)

     

     

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