Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 07

    Posted on julio 4th, 2011 Miralles No comments

     

    Para qué valor de la altura, es máximo el volumen de un cono inscrito en una esfera de 15 cm de radio.

     

     

    Solución:

    Datos: 

    Radio de la esfera:

     

    R = AB = BD = BE = 15 cm

     

    Altura del cono:

     

    h = AB + BC = R + x

     

    x = h – R

     

    Radio del cono:

     

    r = CE

     

    Volumen del cono:

     

    V = (1/3) π r2 h

     

    Para hallar el volumen máximo hemos de derivar la función que se ha obtenido del volumen del cono, pero para ello hemos de poner V en función de una única variable, en este caso la altura, por lo que necesitamos una función auxiliar.

     

    Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo BCE, tenemos que:

     

    x2 + r2 = R2 r2 = R2 – x2 = R2 – (h – R)2

     

    r2 = R2 – h2 + 2hR – R2 = 2hR – h2

     

    Sustituyendo en V:

     

    V = (1/3) π (2hR – h2)h = (1/3) π (2Rh2 – h3)

     

    V = (1/3) π (2·15·h2 – h3) = (1/3) π (30h2 – h3)

     

    Derivando:

     

    V’ = (1/3) π (60h – 3h2)

     

    La condición necesaria, no suficiente, para que en un punto exista un mínimo es que la derivada de la función en dicho punto sea igual a cero, luego:

     

    V’ = 0 (1/3) π (60h – 3h2) = 0 60h – 3h2 = 0 20h – h2 = 0

     

    h(20 – h) =0

     

    Primera solución: h = 0, no nos sirve pues nos daría un volumen igual a cero.

     

    Segunda solución:

     

    20 – h = 0 h = 20

     

    Veamos si h = 20 es máximo estudiando el signo de la derivada primera.

     

    V’(19) = (1/3) π (60·19 – 3·192) = 19 π > 0

     

    V’(21) = (1/3) π (60·21 – 3·212) = –21 π > 0

     

    En h = 20 existe un máximo, pues la función es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha y en dicho punto la derivada se anula.

     

    Si la altura del cono inscrito en la esfera mide 20 cm, el volumen del cono es máximo.

     

     

     

     

     

      

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