Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 06

    Posted on junio 30th, 2011 Miralles No comments

     

    Halla las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de 10 cm de radio.

     

     

    Solución:

     

     

    Datos:

    Radio de la esfera: CD = R = 10 cm

    Radio del cilindro: BD = r

    Altura del cilindro: AB = h

    Volumen del cilindro:

    V = AB (área de la base)·h (altura)

     

    V = π r2 h

     

    En la expresión del volumen tenemos dos incógnitas, luego debemos hallar otra ecuación.

     

    Por el teorema de Pitágoras:

     

    (CB)2 + r2 = R2

     

    Pero: CB = h/2, por tanto:

     

    (h/2)2 + r2 = R2 r2 = R2 – (h/2)2 = 102 – (h2/4)

     

    Sustituyendo el valor de r2 en la ecuación del volumen, tenemos:

     

    V = π [100 – (h2/4)] h = 100 π h – (1/4) π h3

     

    Ahora derivamos el volumen con respecto a la altura.

     

    V’ = 100 π – (3/4) π h2 = [100 – (3/4) h2] π

     

    La condición necesaria, no suficiente, para que el volumen sea máximo es que su derivada sea igual a cero, por tanto:

     

    V’ = 0 [100 – (3/4) h2] π = 0 → 100 – (3/4) h2 = 0

     

    (3/4) h2 = 100 h2 = 400/3

     

     

    Ahora comprobaremos si se trata de un máximo mediante el criterio de la segunda derivada.

     

     

     Al ser la segunda derivada menor que cero,  para el valor encontrado de h, el volumen es máximo.

     

    Radio del cilindro:

      

     

     

     

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