Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 05

    Posted on junio 27th, 2011 Miralles No comments

     

    Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima, que se puede inscribir en el sector de parábola formado por la cuerva x = y2/4 y la recta x = 4.

     

    Solución:

    Con el fin de poder realizar el gráfico del problema, hallaremos los puntos de corte de la parábola con la recta y con el origen de coordenadas.

     

     

    Área del rectángulo:

    A = b · a =(4 – x)·2y = 8y – 2xy

    A = 8y – 2(y2/4)y = 8y – (1/2) y3

    Derivando:

    A’ = 8 – (3/2) y2

    La condición necesaria, no suficiente, para que en un punto exista un máximo es que la derivada de la función en ese punto sea igual a cero, luego:

    A’ = 0 8 – (3/2) y2 = 0 (3/2) y2 = 8

    Veamos si se trata de un máximo aplicando el criterio de la segunda derivada:

    A” = –3y

     

    Por tanto se trata de un máximo.

    Para hallar el valor de x, sustituiremos en la ecuación de la parábola:

    Dimensiones del rectángulo:

    Base:

    b = 4 – (4/3) = 8/3

    Altura:

     

     

     

     

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