Problemas de optimización 04

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende 2 helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta obtiene el máximo beneficio diario? ¿Cuál será ese beneficio?

Solución:

Precio de venta inicial = 50 céntimos  → Número de helados vendidos = 200

Si se aumenta 1 céntimo:

Precio de venta = (50 + 1) céntimos  → Número de helados vendidos = 200 – 2·1

Si se aumenta 2 céntimos:

Precio de venta = (50 + 2) céntimos  → Número de helados vendidos = 200 – 2·2

Si se aumenta x céntimos:

Precio con aumento = (50 + x) céntimos → Número de helados vendidos = 200 – 2x

Precio de coste = 40 céntimos

Función de beneficio:

B = Importe venta – Importe compra

B = [(200 – 2x)·(50 + x)] – [(200 – 2x)·40] =

= (10000 + 200x – 100x – 2x²) – (8000 – 80x) =

= 10000 + 100x – 2x² – 8000 + 80x =

= –2x² + 180x + 2000

La condición necesaria para que la función tenga un máximo en un punto es que su derivada sea igual a cero en dicho punto, por tanto:

B’ = –4x + 180

B’ = 0 → –4x + 180 = 0 → –4x = –180 → 4x = 180

x = 180/4 = 45

Veamos si se trata de un máximo aplicando el criterio de la primera derivada.

B’(44) = –4·44 + 180 = 4>0

B’(46) = –4·46 + 180 = –4<0

La función es creciente a la izquierda de x = 45 y decrece a su derecha, luego en x = 45 existe un máximo.

Por tanto el precio de venta para conseguir el máximo beneficio ha de ser:

P = 50 + 45 = 95 céntimos de euro.

Beneficio máximo:

B = –2·45² + 180·45 + 2000 = 6050 céntimos de euro, o sea, 60,50 €