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Problemas de optimización 04
Posted on junio 23rd, 2011 No commentsUn heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende 2 helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta obtiene el máximo beneficio diario? ¿Cuál será ese beneficio?
Solución:
Precio de venta inicial = 50 céntimos → Número de helados vendidos = 200
Si se aumenta 1 céntimo:
Precio de venta = (50 + 1) céntimos → Número de helados vendidos = 200 – 2·1
Si se aumenta 2 céntimos:
Precio de venta = (50 + 2) céntimos → Número de helados vendidos = 200 – 2·2
Si se aumenta x céntimos:
Precio con aumento = (50 + x) céntimos → Número de helados vendidos = 200 – 2x
Precio de coste = 40 céntimos
Función de beneficio:
B = Importe venta – Importe compra
B = [(200 – 2x)·(50 + x)] – [(200 – 2x)·40] =
= (10000 + 200x – 100x – 2x2) – (8000 – 80x) =
= 10000 + 100x – 2x2 – 8000 + 80x =
= –2x2 + 180x + 2000
La condición necesaria para que la función tenga un máximo en un punto es que su derivada sea igual a cero en dicho punto, por tanto:
B’ = –4x + 180
B’ = 0 → –4x + 180 = 0 → –4x = –180 → 4x = 180
x = 180/4 = 45
Veamos si se trata de un máximo aplicando el criterio de la primera derivada.
B’(44) = –4·44 + 180 = 4>0
B’(46) = –4·46 + 180 = –4<0
La función es creciente a la izquierda de x = 45 y decrece a su derecha, luego en x = 45 existe un máximo.
Por tanto el precio de venta para conseguir el máximo beneficio ha de ser:
P = 50 + 45 = 95 céntimos de euro.
Beneficio máximo:
B = –2·452 + 180·45 + 2000 = 6050 céntimos de euro, o sea, 60,50 €
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