Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 04

    Posted on junio 23rd, 2011 Miralles No comments

     

    Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende 2 helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta obtiene el máximo beneficio diario? ¿Cuál será ese beneficio?

     

     

    Solución:

     

    Precio de venta inicial = 50 céntimos  Número de helados vendidos = 200

    Si se aumenta 1 céntimo:

    Precio de venta = (50 + 1) céntimos  Número de helados vendidos = 200 – 2·1

    Si se aumenta 2 céntimos:

    Precio de venta = (50 + 2) céntimos  Número de helados vendidos = 200 – 2·2

    Si se aumenta x céntimos:

    Precio con aumento = (50 + x) céntimos Número de helados vendidos = 200 – 2x

    Precio de coste = 40 céntimos

    Función de beneficio:

    B = Importe venta – Importe compra

    B = [(200 – 2x)·(50 + x)] – [(200 – 2x)·40] =

    = (10000 + 200x – 100x – 2x2) – (8000 – 80x) =

    = 10000 + 100x – 2x2 – 8000 + 80x =

    = –2x2 + 180x + 2000

    La condición necesaria para que la función tenga un máximo en un punto es que su derivada sea igual a cero en dicho punto, por tanto:

    B’ = –4x + 180

     

    B’ = 0 –4x + 180 = 0 –4x = –180 4x = 180

     

    x = 180/4 = 45

     

    Veamos si se trata de un máximo aplicando el criterio de la primera derivada.

     

    B’(44) = –4·44 + 180 = 4>0

     

    B’(46) = –4·46 + 180 = –4<0

     

    La función es creciente a la izquierda de x = 45 y decrece a su derecha, luego en x = 45 existe un máximo.

     

    Por tanto el precio de venta para conseguir el máximo beneficio ha de ser:

    P = 50 + 45 = 95 céntimos de euro.

    Beneficio máximo:

    B = –2·452 + 180·45 + 2000 = 6050 céntimos de euro, o sea, 60,50 € 

     

     

     

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