Problemas de optimización 02

Disponemos de chapa metálica y deseamos construir un depósito abierto de base cuadrada y cuya capacidad sea de 864 litros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del depósito para que la cantidad de chapa empleada sea mínima?

Solución:

Área del depósito:

A = A_L(área lateral) + A_B (área de la base)

A = 4xy + x²

Para poder resolver este problema necesitamos una ecuación auxiliar, ya que tenemos dos incógnitas.

Volumen del depósito:

V = x² y = 864

Despejamos y, y sustituimos en la primera ecuación.

y = 864/x²

La condición necesaria no suficiente para que en un punto exista un mínimo es que la derivada de la función en dicho punto sea igual a cero, luego:

Veamos si x = 12 es mínimo estudiando el signo de la derivada primera y para ello hemos de tener en cuenta, en este caso, que el denominador siempre es positivo.

En x = 12 existe un mínimo pues la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha y en dicho punto la derivada se anula.

y = 864/12² = 6

Las dimensiones del depósito son altura 6 dm y arista de la base 12 dm. (Las unidades están expresadas en decímetros pues el volumen en litros es equivalente a dm³)