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Problemas de optimización 02
Posted on junio 16th, 2011 No commentsDisponemos de chapa metálica y deseamos construir un depósito abierto de base cuadrada y cuya capacidad sea de 864 litros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del depósito para que la cantidad de chapa empleada sea mínima?
Solución:
Área del depósito:
A = AL(área lateral) + AB (área de la base)
A = 4xy + x2
Para poder resolver este problema necesitamos una ecuación auxiliar, ya que tenemos dos incógnitas.
Volumen del depósito:
V = x2 y = 864
Despejamos y, y sustituimos en la primera ecuación.
y = 864/x2
La condición necesaria no suficiente para que en un punto exista un mínimo es que la derivada de la función en dicho punto sea igual a cero, luego:
Veamos si x = 12 es mínimo estudiando el signo de la derivada primera y para ello hemos de tener en cuenta, en este caso, que el denominador siempre es positivo.
En x = 12 existe un mínimo pues la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha y en dicho punto la derivada se anula.
y = 864/122 = 6
Las dimensiones del depósito son altura 6 dm y arista de la base 12 dm. (Las unidades están expresadas en decímetros pues el volumen en litros es equivalente a dm3)
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