Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 02

    Posted on junio 16th, 2011 Miralles No comments

     

    Disponemos de chapa metálica y deseamos construir un depósito abierto de base cuadrada y cuya capacidad sea de 864 litros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del depósito para que la cantidad de chapa empleada sea mínima?

     

     

    Solución:

     

     

    Área del depósito:

     

    A = AL(área lateral) + AB (área de la base)

     

    A = 4xy + x2

     

    Para poder resolver este problema necesitamos una ecuación auxiliar, ya que tenemos dos incógnitas.

     

    Volumen del depósito:

     

    V = x2 y = 864

     

    Despejamos y, y sustituimos en la primera ecuación.

    y = 864/x2

     

     

     

    La condición necesaria no suficiente para que en un punto exista un mínimo es que la derivada de la función en dicho punto sea igual a cero, luego:

     

     

     

     

    Veamos si x = 12 es mínimo estudiando el signo de la derivada primera y para ello hemos de tener en cuenta, en este caso, que el denominador siempre es positivo.

     

     

     

    En x = 12 existe un mínimo pues la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha y en dicho punto la derivada se anula.

    y = 864/122 = 6

     

    Las dimensiones del depósito son altura 6 dm y arista de la base 12 dm. (Las unidades están expresadas en decímetros pues el volumen en litros es equivalente a dm3)

     

     

     

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