Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Monotonía, extremos absolutos y relativos, curvatura y puntos de inflexión 03

    Posted on junio 9th, 2011 Miralles No comments

     

    Halla la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de la función:

    y = x3 – 6x2 + 9x

     

     

    Solución:

    Teniendo en cuenta que f(x) es creciente en los intervalos donde f’(x) > 0 y decreciente si f’(x) < 0, se hallan para qué valores de x la derivada de la función se anula y después se estudia el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de estos valores.

    f’(x) = 3x2 – 12x + 9 

     

    f’(x) = 0 3x2 – 12x + 9 = 0

     

     x2 – 4x + 3 = 0 

     

    Monotonía y extremos relativos:

    f’(0) = 9 > 0

    f’(2) = 12 – 24 + 9 = –3 < 0

    f’(4) = 48 – 48 + 9 = 9 > 0

     

    Por tanto:

    f(x) es creciente en:

     

    f(x) es decreciente en:

    ]1, 3[

    En x = 1 existe un máximo relativo, ya que para ese valor de x, la derivada se anula y la función es creciente por la izquierda y decreciente por la derecha.

    Para saber la otra coordenada del punto donde se encuentra el máximo relativo, sustituiremos el valor de x en la función:

    f(1) = 13 – 6·12 + 9·1 = 4

    Coordenadas del máximo relativo: (1, 4)

    En x = 3 existe un mínimo relativo, ya que para ese valor de x, la derivada se anula y la función es decreciente por la izquierda y creciente por la derecha.

    Para saber la otra coordenada del mínimo relativo, sustituiremos el valor de x en la función:

    f(1) = 33 – 6·32 + 9·3 = 0

    Coordenadas del mínimo relativo: (3, 0)

    Curvatura y puntos de inflexión:

    Para estudiar la curvatura, es decir, los intervalos de concavidad y convexidad de la función, debemos recordar que f(x) es cóncava en los intervalos en donde f”(x) > 0 y convexa en los intervalos en donde f”(x) < 0. Por tanto se hallan para qué valores de x la derivada segunda se anula y después se estudia el signo de la derivada segunda a la izquierda y a la derecha de estos valores.

    Para que exista un punto de inflexión, debe cumplirse que la derivada segunda en un punto ha de ser igual a cero y cambie la curvatura a un lado y al otro de este punto.

    f’(x) = 3x2 – 12x + 9 

     

     f”(x) = 6x – 12

     

      f”(x) = 0 6x – 12 =0 x = 2

     

    f”(1) = 6·1 – 12 = f”(x) = –6 < 0

     

    f”(3) = 6·3 – 12 = 6 > 0

     

    f(x) es convexa en:

    f(x) es cóncava en:

    En x = 2 existe un punto de inflexión, ya que para ese valor de x, la derivada segunda se anula y la función es convexa por la izquierda y cóncava por la derecha.

    Para averiguar la otra coordenada del mínimo relativo, sustituiremos el valor de x en la función:

    f(2) = 23 – 6·22 + 9·2 = 2

    Coordenadas del punto de inflexión: (2, 2)

     

     

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