Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Monotonía, extremos absolutos y relativos, curvatura y puntos de inflexión 02

    Posted on junio 6th, 2011 Miralles No comments

      

    Hallar los intervalos de crecimiento – decrecimiento de la función:

    f(x) = x4 – 6x3 + 12x2 – 10 x – 2

     

     

    Solución:

    Teniendo en cuenta que f(x) es creciente en los intervalos donde f’(x) > 0 y decreciente si f’(x) < 0, se hallan para qué valores de x la derivada de la función se anula y después se estudia el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de estos valores.

    f’(x) = 4x3 – 18x2 + 24x – 10  

     

    f’(x) = 0 4x3 – 18x2 + 24x – 10 = 0

     

     2x3 – 9x2 + 12x – 5 = 0 

     

    Las posibles soluciones enteras son los divisores del término independientes, es decir:  -1, 1, -5 y 5.

     

    Aplicando Ruffini:

    Hemos hallado una solución entera doble, x = 1. La otra solución es fraccionaria y se obtiene al hacer: 2x – 5 =0.

    2x – 5 = 0 2x = 5 x = 5/2

    Ahora estudiaremos el signo de derivada a la izquierda y a la derecha de las raíces halladas.

     

    f’(0) = –10 < 0

     

    f’(2) = 32 – 72 + 48 – 10 = –2 < 0 

     

    f’(3) = 108 – 162 + 72 – 10 = 8 > 0 

     

     

    Conclusión:

    f(x) es decreciente en:

    f(x) es creciente en:

     

     

     

     

     

     

     

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