Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto 03

Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva x²y + xy² – 5x – 7 = 0, en el primer cuadrante y en un punto de abscisas 1.

Solución:

Ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (x₀, f(x₀)):

y – f(x₀) = f’(x₀) (x – x₀)

De la anterior expresión se deduce que para hallar la recta tangente, necesitamos saber el valor de f(x₀) y f’(x₀), ya que x₀ = 1.

x₀ = 1 → 1²·y + 1·y² – 5·1 – 7 = 0 → y² + y – 12 = 0

Ahora resolveremos la anterior ecuación de segundo grado:

De los dos resultados obtenidos y = 3 es el que buscamos, ya que es el que pertenece al primer cuadrante, por tanto:

x₀ = 1 → f(x₀) = f(1) = 3

El punto buscado tiene por coordenadas: P(1, 3) y la ecuación de la tangente es:

y – 3 = f’(1) (x – 3)

Para hallar f’(1), derivaremos implícitamente:

f’(x) = 2xy + x²y’ + y² + x·2yy’ – 5 – 0 = 0 → 2xy + x²y’ + y² + 2xyy’ – 5 = 0

f’(1) → 2·1·3 + 1²·y’ + 3² +2·1·3·y’ – 5 = 0

6 + y’ + 9 + 6y’ – 5 = 0 → 7y’ = –10 → y’ = –10/7

Ecuación de la recta tangente a la curva:

y – 3 = (–10/7) (x – 3)