Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto 03

    Posted on mayo 30th, 2011 Miralles No comments

     

    Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva x2y + xy2 – 5x – 7 = 0, en el primer cuadrante y en un punto de abscisas 1.

     

     

    Solución:

     

    Ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (x0, f(x0)):

     

    y – f(x0) = f’(x0) (x – x0)

     

    De la anterior expresión se deduce que para hallar la recta tangente, necesitamos saber el valor de f(x0) y f’(x0), ya que x0 = 1.

     

    x0 = 1 → 12·y + 1·y2 – 5·1 – 7 = 0 → y2 + y – 12 = 0

     

    Ahora resolveremos la anterior ecuación de segundo grado:

     

     

    De los dos resultados obtenidos y = 3 es el que buscamos, ya que es el que pertenece al primer cuadrante, por tanto:

     

    x0 = 1 → f(x0) = f(1) = 3

     

    El punto buscado tiene por coordenadas: P(1, 3) y la ecuación de la tangente es:

     

    y – 3 = f’(1) (x – 3)

     

    Para hallar f’(1), derivaremos implícitamente:

     

    f’(x) = 2xy + x2y’ + y2 + x·2yy’ – 5 – 0 = 0 → 2xy + x2y’ + y2 + 2xyy’ – 5 = 0

     

    f’(1) → 2·1·3 + 12·y’ + 32 +2·1·3·y’ – 5 = 0

     

    6 + y’ + 9 + 6y’ – 5 = 0 → 7y’ = –10 → y’ = –10/7

     

    Ecuación de la recta tangente a la curva:

     

    y – 3 = (–10/7) (x – 3)

     

     

     

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