Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto 02

Dada la función: f(x) = x³ – 2x + 3:

a)  Calcula la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa 1.

b)  Estudia si hay algún punto de la curva y = f(x) en el que la recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Solución:

a)  Ecuación punto pendiente de la recta tangente a una curva en el punto (x₀, y₀): 

y – y₀ = f’(x₀) (x – x₀)

En este problema x₀ = 1, luego, para hallar y₀, sustituiremos en la función:  

y₀ = f(x₀) = f(1) = 1³ – 2·1 + 3 = 2

Ahora debemos hallar la derivada de la función en x₀:

f’(x) = 3x² – 2 → f’(x₀) = f’(1) = 3(1)² – 2 = 1

Ecuación de la recta tangente en x₀ = 1:

y – 2 = 1 (x – 1) → y = 2 + x – 1

y = x +1

b)  Ecuación general de la bisectriz del primer y tercer cuadrante: y = x

Para que la recta y = x y la tangente a la curva dada en el punto (x₀, y₀) sean paralelas, se ha de cumplir que la pendiente de ambas sean iguales, o sea, que m = f’(x₀).

La pendiente de la recta y = x, es el coeficiente de x, es decir, m =1.

Las rectas tangentes en los puntos P₁ y P₂ de la curva dada y la recta y = x son paralelas.