Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Tasa de variación de una función 03

    Posted on mayo 19th, 2011 Miralles No comments

     

    Se calcula que el valor de una acción t meses después de salir al mercado bursátil y durante el primer año, viene dado por la función V(t) = t2 – 6t + 10. Se pide:

    a)  Calcula la tasa de variación media del valor de la acción durante los dos primeros meses. ¿Qué interpretación le das al resultado obtenido?

     

    b)  Calcula la tasa de variación instantánea del valor de la acción al finalizar el quito mes. ¿Qué interpretación le das al resultado obtenido?

     

    c)  ¿En qué mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio más ventajoso? Razónalo.

     

    d)  ¿En qué mes del primer año convine vender las acciones? Razónalo.

     

     

    Solución:

     

    a)  La tasa de variación media de la función V(x) en el intervalo [t0, t] es:

     

     

    En este caso el intervalo es [0, 2], luego:

     

    El resultado nos indica que el valor medio de cotización de las acciones, en los dos primeros meses, ha disminuido a razón de cuatro unidades por acción.

     

    b)  La tasa de variación instantánea de la función V(x) es:

     

    luego:

    V’(t) = 2t – 6, para t = 5: V’(5) = 2·5 – 6 = 4

     

    El resultado no indica que al finalizar el quinto mes el valor de las acciones ha aumentado a razón de 4 unidades por acción.

     

     

    c)  El valor de las acciones viene dado mediante una función cuadrática luego su valor máximo o mínimo se encontrará en su vértice o bien, para el valor de t que haga nula a la derivada.

    V’(t) = 0 → 2t – 6 = 0 →t = 6 / 2 = 3

     

    Veamos si se trata de un mínimo, estudiando el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de t = 3:

    V’(2) = 2·2 – 6 = –2 < 0, la función es decreciente

     

    V’(4) = 2·4 – 6 = 2 > 0, la función es creciente

     

    En t = 3 existe un mínimo ya que la derivada de la función para ese valor se anula y a la izquierda de dicho valor la función es decreciente y a la derecha es creciente.

    Luego a los tres meses de la salida al mercado, las acciones alcanzan su valor mínimo y es entonces cuando es conveniente comprarlas.

     

    d)  En este caso hemos de buscar un valor de t que esté comprendido en [0, 12], de forma que se obtenga el mayor precio posible es decir un máximo absoluto, o sea, en los extremos del intervalo. Por tanto debe ser en el último mes, es decir, para t = 12  ya que antes del tercer mes la función es decreciente y a partir del tercer mes la función es creciente.

     

     

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