Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 05

    Posted on febrero 24th, 2011 Miralles No comments

     

    Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

    a)  y = (x2 + 2) (x3 + 3)                         b)  y = (2x3 – 2) (3x2 – x)

    c)  y = (2x + 3) (x2 + 4x – 5)                d)  y = (1 + 5x3) (1 + 3x2)

                 e)  y = (a + x) (b + x)                            f)  y = (3x2 – 1) (x + 2) – (x2 + 1)

    g)  y = (2x3 + 5) – (x2 – 3) (7 + x)

     

    Solución:

    a)      Primero efectuaremos el producto y después derivaremos.

    y = (x2 + 2) (x3 + 3) = x5 + 3x2 + 2x3 + 6

    y’ = 5x4 + 6x + 6x2

    También se puede hacer utilizando la siguiente regla de derivación:

    Si y = f(x) · g(x) entonces y’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x), es decir, la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función, siendo, en este caso, f(x) = (x2 + 2) y g(x) = (x3 + 3), por tanto:

    y’ = 2x (x3 + 3) + (x2 + 2) 3x2 = 2x4 + 6x + 3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x + 6x2

    b)       

    y’ = 6x2 (3x2 – x) + (2x3 – 2) (6x – 1) = 18x4 – 6x3 + 12x4 – 2x3 – 12x + 2

    y’ = 30x4 – 8x3 – 12x + 2

    c)       

    y’ = 2 (x2 + 4x – 5) + (2x + 3) (2x + 4) = 2x2 + 8x – 10 + 4x2 + 8x + 6x + 12 =

    = 6x2 + 22x + 2

    d)      

    y’ = 15x2 (1 + 3x2) + (1 + 5x3) 6x = 15x2 + 45x4 + 6x + 30x4 =

    = 75x4 + 15x2 + 6x

    e)       

    y’ = 1 (b + x) + (a + x) 1 = b + x + a + x = 2x + a + b

    f)        

    y’ = 6x (x + 2) + (3x2 – 1) 1 – 2x = 6x2 + 12x + 3x2 – 1 – 2x =

    = 9x2 + 10x – 1

    g)       

    y’ = 6x2 – 2x (7 + x) – (x2 – 3) 1 = 6x2 – 14x – 2x2 – x2 + 3 =

    = 3x2 – 14x + 3

     

     

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