Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Continuidad de una función en un punto 04

    Posted on enero 27th, 2011 Miralles No comments

     

    Calcula el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:

     

    a)

    b)

    c)

    d)

     

     

    Solución:

    a)  Por estar defina por funciones continuas (funciones polinómicas), la función dada es continua para cualquier valor real de x, excepto en x = 2 donde la función cambia de expresión, por tanto hay que estudiar su comportamiento para dicho valor.

     

    Hallemos los límites laterales de la función en este punto.

     

     

    Para que la función sea continua en x = 2, los límites han de ser iguales, por tanto:

     

    12 – 2k = 3 → 2k = 9 →k = 9/2

     

    Si k = 9/2, la función es continua en x = 2 porque:

     

     

    b)  La función no puede ser continua ya que en x = 0 no tiene imagen por anularse el denominador de la fracción, aunque puede haber una discontinuidad evitable si existe el límite en ese punto.

     

    Para que exista el límite en x = 0, los límites laterales han de ser iguales, por tanto k = 4.

    En x = 0, la función tiene una discontinuidad evitable para k = 4.

     

    c)  En este caso podría existir un punto conflictivo en x = 2, pues este valor anula el denominador de la fracción y no tendría imagen, pero, para dicho valor de x, la función toma la siguiente expresión: y = k, luego no ocurre nada. Por tanto lo único que debemos comprobar es que exista el límite en x = 2 y que sea igual a f (2).

     

    Si k = 4, la función es continua.

    d)  Como en el apartado anterior podría existir un punto conflictivo en x = 0, pues anularía el denominador de la fracción, pero esto no puede suceder ya que, para ese valor, la función toma la siguiente expresión: y = k. Luego lo único que debemos comprobar es que exista el límite en x = 0 y que sea igual a f (0).

     

    Si k = 3 la función es continua.

     

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