Continuidad de una función en un punto 01

Estudia la continuidad de la función:

Solución:

Para que una función sea continua en un punto x₀, se han de cumplir las tres condiciones siguientes:

Primero:

Que exista la imagen de x₀, es decir, que exista f(x₀).

Segundo:

Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a x₀, o sea:

Tercero:

Que el límite y la imagen de la función en ese punto sean iguales, es decir:

La función dada no tiene imagen para aquellos valores de x que anulan el denominador. Veamos para qué valores de x ocurre esto.

x² – 3 x + 2 = 0

La función dada no es continua en x = 1 y en x = 2 por no estar definida en esos puntos; para el resto de los valores es continua. Estudiemos qué tipo de discontinuidad existe en esos puntos.

En x = 1:

 En x = 1, existe una discontinuidad no evitable de salto infinito o asintótica.

En x = 2:

Estamos ante un caso de indeterminación.

En x = 2, la función tiene una discontinuidad evitable porque, aunque no hay imagen, existe límite finito en ese punto.