Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Continuidad de una función en un punto 01

    Posted on enero 17th, 2011 Miralles No comments

     

    Estudia la continuidad de la función:

     

     

    Solución:

     

    Para que una función sea continua en un punto x0, se han de cumplir las tres condiciones siguientes:

    Primero:

    Que exista la imagen de x0, es decir, que exista f(x0).

    Segundo:

    Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a x0, o sea:

    Tercero:

    Que el límite y la imagen de la función en ese punto sean iguales, es decir:

     

    La función dada no tiene imagen para aquellos valores de x que anulan el denominador. Veamos para qué valores de x ocurre esto.

    x2 – 3 x + 2 = 0

     

    La función dada no es continua en x = 1 y en x = 2 por no estar definida en esos puntos; para el resto de los valores es continua. Estudiemos qué tipo de discontinuidad existe en esos puntos.

    En x = 1:

     

     En x = 1, existe una discontinuidad no evitable de salto infinito o asintótica.

    En x = 2:

     

    Estamos ante un caso de indeterminación.

    En x = 2, la función tiene una discontinuidad evitable porque, aunque no hay imagen, existe límite finito en ese punto.

     

     

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