Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función logarítmica. Aplicaciones 02

    Posted on diciembre 6th, 2010 Miralles No comments

     

    Se estima que el precio de un automóvil se devalúa el 10% cada año. Si te compras un automóvil que cuesta 12000 euros, calcula:

     

    a)    La función que relaciona el valor de tu automóvil con los años transcurridos desde su compra.

     

    b)   Empleando dicha función halla el valor de tu automóvil dentro de 4 años.

     

    c)    Si cuando cambies de automóvil quieres obtener por el actual 1500 euros, ¿dentro de cuántos años deberá cambiarlo?

     

     

    Solución:

     

    Datos: P0 =12000 €; r = 10%

     

    a)    Sea P0 el precio inicial y P el precio final al finalizar cada año tendremos:

     

    Primer año:

     

    P = P0 – P0 (r/100) = P0 [1 – (r/100)]

     

    Segundo año:

     

    P = P0 [1 – (r/100)] – P0 [1 – (r/100)] · (r/100)

     

    P = P0 [1 – (r/100)] · [1 – (r/100)]

     

    P = P0 [1 – (r/100)]2

     

    Al final de x años el precio inicial se habrá convertido en:

     

    P = P0 [1 – (r/100)]x

     

    Ecuación de la función:

     

    P = 12000 · [1 – (10/100)]x

     

    P = 12000 · 0,9x

    b)   Si x = 4:

     

    P = 12000 · 0,94 = 7873,20

     

    A los 4 años de la compra del automóvil su valor será 7873,20 €

     

    c)    P = 1500 €

     

    1500 = 12000 · 0,9x → 0,9x = 1500 / 12000 = 0,125

     

    Tomando logaritmos, obtenemos:

     

    log 0,9x = log 0,125 → x log 0,9 = log 0,125

     

    x = log 0,125 / log 0,9

     

    x = 19,74

     

    Para que el automóvil valga 3500 € han de transcurrir, aproximadamente, 20 años.

     

     

     

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