Función logarítmica. Aplicaciones 02

Se estima que el precio de un automóvil se devalúa el 10% cada año. Si te compras un automóvil que cuesta 12000 euros, calcula:

a)    La función que relaciona el valor de tu automóvil con los años transcurridos desde su compra.

b)   Empleando dicha función halla el valor de tu automóvil dentro de 4 años.

c)    Si cuando cambies de automóvil quieres obtener por el actual 1500 euros, ¿dentro de cuántos años deberá cambiarlo?

Solución:

Datos: P₀ =12000 €; r = 10%

a)    Sea P₀ el precio inicial y P el precio final al finalizar cada año tendremos:

Primer año:

P = P₀ – P₀ (r/100) = P₀ [1 – (r/100)]

Segundo año:

P = P₀ [1 – (r/100)] – P₀ [1 – (r/100)] · (r/100)

P = P₀ [1 – (r/100)] · [1 – (r/100)]

P = P₀ [1 – (r/100)]²

Al final de x años el precio inicial se habrá convertido en:

P = P₀ [1 – (r/100)]^x

Ecuación de la función:

P = 12000 · [1 – (10/100)]^x

P = 12000 · 0,9^x

b)   Si x = 4:

P = 12000 · 0,9⁴ = 7873,20

A los 4 años de la compra del automóvil su valor será 7873,20 €

c)    P = 1500 €

1500 = 12000 · 0,9^x → 0,9^x = 1500 / 12000 = 0,125

Tomando logaritmos, obtenemos:

log 0,9^x = log 0,125 → x log 0,9 = log 0,125

x = log 0,125 / log 0,9

x = 19,74

Para que el automóvil valga 3500 € han de transcurrir, aproximadamente, 20 años.