Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Expresión analítica de una función. Aplicaciones 04

    Posted on octubre 11th, 2010 Miralles No comments

     

    Se cerca una finca rectangular de área A con 42 metros de alambrada, sin que sobre ni falte nada.

     

    a)      Expresa el área de la finca en función de uno de sus lados.

     

    b)      Representa gráficamente la expresión anterior.

     

    c)      ¿Cuál es el dominio de definición?

     

    d)      ¿Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máxima?

     

     

    Solución:

     

    a)          

     

     

    La finca tiene un perímetro de 42 metro, por tanto, según la figura:

     

    2 x + 2 y = 42

     

    simplificando:

     

    x + y = 21

     

    Área del rectángulo:

     

    A = x · y

     

    Despejando de la expresión del perímetro la incógnita y, obtenemos:

     

    y = 21 – x

     

    sustituyendo en la expresión del área:

     

    A = x · ( 21 – x) = 21 x – x2  → A (x) = –x2 + 21 x

     

    b)      Por tratarse de una función polinómica de segundo grado se trata de una parábola, luego es interesante averiguar su vértice y los puntos de corte con los ejes.

     

     Puntos de corte:

     

    Con el eje de abscisas (X): 

     

    A (x) = 0 → –x2 + 21 x = 0

     

    Sacando factor común:

     

    x (–x + 21) = 0

     

    Primera solución:

    x = 0

     

    Segunda solución:

     

    –x + 21 = 0 → x = 21

     

    Los puntos son: (0, 0) y (21, 0).

     

    Con el eje de ordenadas (Y):

     

    x = 0 → A (0) = 0

     

    El punto es: (0, 0), que ya se había hallado anteriormente (la gráfica de la función corta a ambos ejes en el origen de coordenadas)

     

    Vértice:

     

    xV = –b/2a = –21/2 (–1) = 21/2 = 10,5

     

    A (21/2) = –(21/2)2 + 21 · (21/2) = (–441/4) + (441/2) = (–441/4) + (882/4) = 441/4 =110,25   

       

    El vértice la de la parábola se encuentra en el punto (10,5; 110,25)

     

    Tabla de valores:

     

     

     

    Representación gráfica:

     

     

     

    c)      Al ser una función polinómica el dominio es todo Â, pero el área del rectángulo a de ser mayor que cero, luego, según la gráfica:

     

    Dom (A) = ]0, 21[

     

    d)      De acuerdo con la gráfica el máximo del área se alcanza en el vértice de la parábola, es decir, para x = 10,5, por tanto los lados de la finca serán:

     

    x = 10,5 m e y = 21 – 10,5 = 10,5 m

     

    Luego se trata de un cuadrado.

     

     

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