Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Representación gráfica de una función 03

    Posted on septiembre 2nd, 2010 Miralles No comments

     

    Halla el dominio de las siguientes funciones y representa gráficamente cada una de ellas en unos ejes de coordenadas:

     

     

    Solución:

     

    En muchos casos la gráfica de una función procede de una gráfica de una función más simple tales como, por ejemplo, y = x2 o y = 1/x, a las que se les realizan ciertos cambios como: traslaciones, reflexiones o ampliaciones, por tanto hemos de saber lo siguiente:

     

    Si la función es y = f(x) + k, se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia arriba.

     

    Si la función es y = f(x) – k, se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia abajo.

     

    Si la función es y = f(x + k), se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia la izquierda.

     

    Si la función es y = f(x – k), se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia la derecha.

     

    La gráfica de y = –f(x), es una reflexión de la gráfica y = f(x).

     

    La gráfica de y = k f(x), k > 0 y k ≠ 1, es una ampliación de la gráfica y = f(x).

     

    a)      Dominio de la función:

     

     

    Los únicos valores de x que no pertenecen al dominio de la función, son aquellos que anulan el denominador de la fracción, por tanto:

     

    1 – x = 0 → x = 1

     

     

     

     

    La función dada se puede expresar de la siguiente forma:

     

     

     

    por tanto, se trata de la gráfica de la función y = 1/x (una hipérbola), que ha sufrido una traslación hacia la derecha de una unidad, una ampliación de dos unidades y una reflexión.

     

    Gráfica de y = 1/x:

     

     

     

    Ampliación:

     

     

    Reflexión:

     

     

    Traslación:

     

     

    Esta última representación es la gráfica que debíamos trazar.

     

    b)      Dominio de la función:

     

    Al tratarse de una raíz de índice par, el radicando debe ser mayor o igual que cero, pues las raíces de índice par de números negativos, no tienen solución en el conjunto de número reales, por tanto:

     

     

    La segunda función se puede expresar de la siguiente forma:

     

     

    luego, procede de la gráfica de la función:

     

     

    que ha sufrido una traslación hacia la derecha de cinco unidades. Por tanto, representaremos la anterior función y después realizaremos la traslación.

     

     

    Gráfica de la función g(x):

     

     

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