Límite de una sucesión 02

Dada  la sucesión:

a)      Estudia su crecimiento o decrecimiento y demuéstralo.

b)      Estudia, intuitivamente, su límite, demuéstralo aplicando la definición y aplica el resultado obtenido para un valor que tú creas oportuno de la constante, explicando el resultado obtenido.

Solución:

a)      Veamos el valor de algunos términos, para estudiar el crecimiento decrecimiento de la sucesión:

Aparentemente la sucesión es creciente.

Demostración:

Si:

la sucesión es creciente.

Si:

la sucesión es estrictamente creciente.

Si:

la sucesión es decreciente.

ya que:

Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.

b)      Intuitivamente:

Demostración:

Una sucesión a tiene límite L si a partir de un cierto término a_n es |a_n – L| < ε, para cualquier número real positivo ε.

La expresión obtenida indica que todos los términos de la sucesión de orden mayor que:

cumplen la condición inicial.

Dos cosas importantes, la primera es que el valor de n depende del valor que se le asigne a ε, y la segunda es que siempre se debe calcular el valor absoluto de la diferencia entre a_n y L, con el fin de conseguir que ésta sea siempre positiva.

Si, por ejemplo, ε = 0,001:

Luego a partir del término de orden 556 todos los demás difieren de 2/3 en valor absoluto, menos de 0,001.