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Límite de una sucesión 02
Posted on julio 30th, 2010 No commentsDada la sucesión:
a) Estudia su crecimiento o decrecimiento y demuéstralo.
b) Estudia, intuitivamente, su límite, demuéstralo aplicando la definición y aplica el resultado obtenido para un valor que tú creas oportuno de la constante, explicando el resultado obtenido.
Solución:
a) Veamos el valor de algunos términos, para estudiar el crecimiento decrecimiento de la sucesión:
Aparentemente la sucesión es creciente.
Demostración:
Si:
la sucesión es creciente.
Si:
la sucesión es estrictamente creciente.
Si:
la sucesión es decreciente.
ya que:
Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.
b) Intuitivamente:
Demostración:
Una sucesión a tiene límite L si a partir de un cierto término an es |an – L| < ε, para cualquier número real positivo ε.
La expresión obtenida indica que todos los términos de la sucesión de orden mayor que:
cumplen la condición inicial.
Dos cosas importantes, la primera es que el valor de n depende del valor que se le asigne a ε, y la segunda es que siempre se debe calcular el valor absoluto de la diferencia entre an y L, con el fin de conseguir que ésta sea siempre positiva.
Si, por ejemplo, ε = 0,001:
Luego a partir del término de orden 556 todos los demás difieren de 2/3 en valor absoluto, menos de 0,001.
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