Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Límite de una sucesión 02

    Posted on julio 30th, 2010 Miralles No comments

     

    Dada  la sucesión:

     

     

    a)      Estudia su crecimiento o decrecimiento y demuéstralo.

     

    b)      Estudia, intuitivamente, su límite, demuéstralo aplicando la definición y aplica el resultado obtenido para un valor que tú creas oportuno de la constante, explicando el resultado obtenido.

     

     

    Solución:

     

    a)      Veamos el valor de algunos términos, para estudiar el crecimiento decrecimiento de la sucesión:

     

     

    Aparentemente la sucesión es creciente.

     

    Demostración:

    Si:

     

     

    la sucesión es creciente.

     

    Si:

     

     

    la sucesión es estrictamente creciente.

     

    Si:

     

     

    la sucesión es decreciente.

     

     

    ya que:

     

     

    Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.

     

    b)      Intuitivamente:

     

     

    Demostración:

     

    Una sucesión a tiene límite L si a partir de un cierto término an es |an – L| < ε, para cualquier número real positivo ε.

     

     

     

     

    La expresión obtenida indica que todos los términos de la sucesión de orden mayor que:

     

     

     

    cumplen la condición inicial.

     

    Dos cosas importantes, la primera es que el valor de n depende del valor que se le asigne a ε, y la segunda es que siempre se debe calcular el valor absoluto de la diferencia entre an y L, con el fin de conseguir que ésta sea siempre positiva.

     

    Si, por ejemplo, ε = 0,001:

     

     

     

    Luego a partir del término de orden 556 todos los demás difieren de 2/3 en valor absoluto, menos de 0,001.

     

     

     

     

    Leave a Reply