Término general de una sucesión 02

Dada la sucesión:

a)      Calcula su término general.

b)      Estudia si hay algún término en dicha sucesión que valga 1/2. Si es así, di cuál es y explícalo.

Solución:

a)      Estudiaremos por separado los numeradores y los denominadores de la fracción.

Numeradores: 3, 7, 11, 15, 19, ….; se trata de una progresión aritmética de diferencia igual a cuatro (7 – 3 = 4), y  primer término 3, por tanto, para hallar el término general, utilizaremos la fórmula del termino general de una progresión aritmética.:

b_n = 3 + (n – 1) 4 = 3 + 4n – 4 = 4n –1 

Denominadores: –1, 2, 7, 14, 23, ….; en este caso ni es una progresión aritmética ni geométrica, pero se puede hacer lo siguiente:

Sea la sucesión: c_n = a n² + b n + c.

Dando valores a n:

Teniendo en cuenta que cada término de la sucesión es dos unidades menos que los cuadrados perfectos de 1, 2, 3, etc, también se puede hacer de la siguiente manera:

ya que la diferencia entre dos términos, del mismo orden, de ambas sucesiones es dos.

Término general de la sucesión dada:

b)      Si existe un término que valga 1/2 se debe cumplir:

Existe dicho término y es el octavo, es decir, a₈.

La solución n = 0, no es válida, ya que n no puede ser igual a cero.

Veamos si es cierto: