Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Término general de una sucesión 01

    Posted on julio 16th, 2010 Miralles No comments

     

    Halla el término general de las siguientes sucesiones:

     

    a)      3, 5, 7, 9, 11,….

     

    b)      ¾, ½, ¼, 0, -1/4,…

     

    c)      25, 21, 17, 13, 9,…

     

    d)      16, 4, 1, ¼,….

     

    e)      1, –2, 3, –4, 5, –6,…

     

    f)        ½, 4/3, 9/4, 16/5,….

     

    Solución:

     

    En muchas ocasiones las sucesiones suelen ser progresiones aritméticas o geométricas, cuadros o cubos perfectos, o sucesiones que tenga en común “algo” con las anteriores; luego comenzaremos por estas ideas.

     

    a)      Para averiguar si se trata de una progresión aritmética, restaremos a un término y veremos si siempre se obtiene el mismo resultado.

     

    5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2; 9 – 7 = 2

     

    Se trata de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 3 y d = 2.

     

    Aplicando la fórmula general de una progresión aritmética, se obtiene el término general de la sucesión dada.

     

    an = a1 + (n – 1) d  → an = 3 + (n – 1) · 2 = 3 + 2n – 2 

       

    an = 2n +1    

     

    b)      La sucesión dada en este apartado, también se pude expresa de la siguiente forma:

     

     

     luego, se trata de una sucesión que tiene por numerador una progresión aritmética de diferencia –1 y por denominador una sucesión constante.

     

    Primero hallaremos el término general del numerador:

     

    an = a1 + (n – 1) d  → an = 3 + (n – 1) · (–1) = 3 – n +1    

     

    an = 4 – n     

     

    Término general de la sucesión:

     

     

    c)      En este caso, procederemos como en el primer apartado.

     

    21 – 25 = 17 – 21 = ….= –4

     

    Estamos ante una progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 25 y d = –4.

     

    an = a1 + (n – 1) d  → an = 25 + (n – 1) · (–4) = 25 – 4n +4    

     

    Término general de la sucesión:

     

    an = 29 – 4n     

     

    d)      Dividiendo cada término por el anterior:

     

    4/16 = ¼ = … = 1/4

     

    vemos que se obtiene el mismo resultado, luego, se trata de una progresión geométrica, cuyo primer término es a1 = 16 y r = ¼.

     

     

     

     e)      Si no tenemos en cuenta el signo tenemos la sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., n. luego el término general de la sucesión dada, es:

    an = (–1)n+1 n

     

    f)      En este caso, estudiaremos por separado los numeradores y los denominadores de la fracción.

     

    Numeradores: 1, 4, 9, 16,…, que son iguales a 11, 22, 32, 42, …, n2, es decir, los cuadrados perfectos.           

     

    Denominadores: 2, 3, 4, 5,…    Se trata de una progresión aritmética de diferencia 1 y cuyo primer término es 2, por tanto su término general será:

     

    an = a1 + (n – 1) d  → an = 2 + (n – 1) · 1 = 2 + n – 1     

     

    an = n + 1     

     

    Término general de la sucesión:

     

     

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