Término general de una sucesión 01

Halla el término general de las siguientes sucesiones:

a)      3, 5, 7, 9, 11,….

b)      ¾, ½, ¼, 0, -1/4,…

c)      25, 21, 17, 13, 9,…

d)      16, 4, 1, ¼,….

e)      1, –2, 3, –4, 5, –6,…

f)        ½, 4/3, 9/4, 16/5,….

Solución:

En muchas ocasiones las sucesiones suelen ser progresiones aritméticas o geométricas, cuadros o cubos perfectos, o sucesiones que tenga en común “algo” con las anteriores; luego comenzaremos por estas ideas.

a)      Para averiguar si se trata de una progresión aritmética, restaremos a un término y veremos si siempre se obtiene el mismo resultado.

5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2; 9 – 7 = 2

Se trata de una progresión aritmética cuyo primer término es a₁ = 3 y d = 2.

Aplicando la fórmula general de una progresión aritmética, se obtiene el término general de la sucesión dada.

a_n = a₁ + (n – 1) d  → a_n = 3 + (n – 1) · 2 = 3 + 2n – 2 

a_n = 2n +1    

b)      La sucesión dada en este apartado, también se pude expresa de la siguiente forma:

 luego, se trata de una sucesión que tiene por numerador una progresión aritmética de diferencia –1 y por denominador una sucesión constante.

Primero hallaremos el término general del numerador:

a_n = a₁ + (n – 1) d  → a_n = 3 + (n – 1) · (–1) = 3 – n +1    

a_n = 4 – n     

Término general de la sucesión:

c)      En este caso, procederemos como en el primer apartado.

21 – 25 = 17 – 21 = ….= –4

Estamos ante una progresión aritmética cuyo primer término es a₁ = 25 y d = –4.

a_n = a₁ + (n – 1) d  → a_n = 25 + (n – 1) · (–4) = 25 – 4n +4    

Término general de la sucesión:

a_n = 29 – 4n     

d)      Dividiendo cada término por el anterior:

4/16 = ¼ = … = 1/4

vemos que se obtiene el mismo resultado, luego, se trata de una progresión geométrica, cuyo primer término es a₁ = 16 y r = ¼.

 e)      Si no tenemos en cuenta el signo tenemos la sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., n. luego el término general de la sucesión dada, es:

a_n = (–1)ⁿ⁺¹ n

f)      En este caso, estudiaremos por separado los numeradores y los denominadores de la fracción.

Numeradores: 1, 4, 9, 16,…, que son iguales a 1¹, 2², 3², 4², …, n², es decir, los cuadrados perfectos.           

Denominadores: 2, 3, 4, 5,…    Se trata de una progresión aritmética de diferencia 1 y cuyo primer término es 2, por tanto su término general será:

a_n = a₁ + (n – 1) d  → a_n = 2 + (n – 1) · 1 = 2 + n – 1     

a_n = n + 1     

Término general de la sucesión: