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Conjuntos acotados 02
Posted on julio 14th, 2010 No commentsDados los siguientes conjuntos, estudiar si están o no acotados, indicado el supremo, ínfimo, máximo y mínimo cuando sea posible.
Solución:
a) Primero averiguaremos para qué valores de x la fracción es positiva o igual a cero. Para ello calculamos los valores que hacen cero al numerado y al denominador de la fracción algebraica.
x – 1 = 0 → x = 1 3 – x = 0 → –x = –3 → x = 3
Ahora hacemos el siguiente cuadro:
Como el cociente ha de ser mayor o igual que cero, o sea positivo o cero, la solución es el intervalo de signo positivo.
D = [1, 3[, luego el conjunto está acotado.
Extremo superior o supremo (D) = 3. Extremo inferior o ínfimo (D) = 1
Como el supremo no pertenece al intervalo no tiene máximo. Como el ínfimo pertenecer al intervalo es a su vez el mínimo.
Mínimo (D) = 1
b) Primero operaremos la inecuación.
Ahora estudiaremos para qué valores de x la inecuación es menor o igual que cero.
Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación: x2 – 2x – 3 = 0
y entonces se hace el siguiente cuadro:
Como el producto ha de ser menor o igual que cero, o sea negativo o cero, la solución es el intervalo de signo negativo.
E = [–1, 3], luego el conjunto está acotado.
Extremo superior o supremo (E) = 3. Extremo inferior o ínfimo (E) = –1
Como el supremo pertenece al intervalo se trata, por tanto del máximo y como el ínfimo también pertenecer al intervalo es a su vez el mínimo.
Máximo (E) = 3. Mínimo (E) = –1
c) Debemos solucionar el siguiente sistema:
Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación: x2 – 3x + 2 = 0
y entonces se hace el siguiente cuadro:
Como el producto ha de ser mayor que cero, o sea positivo, la solución es el intervalo de signo positivo, es decir, ]–∞, 1[ U ]2, +∞[.
La solución de la segunda inecuación es: ]0, +∞[.
Ahora hay que hallar la intersección de ambos intervalos.
La solución es el intervalo en donde coinciden las dos flechas, o sea, su intersección.
F = ]0, 1[ U ]2, +∞[, luego el conjunto no está acotado.
Extremo superior o supremo (F) = No tiene. Extremo inferior o ínfimo (E) = 0
Como no tiene supremo tampoco tiene máximo y como el ínfimo no pertenece al intervalo tampoco tiene mínimo.
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