Conjuntos acotados 02

Dados los siguientes conjuntos, estudiar si están o no acotados, indicado el supremo, ínfimo, máximo y mínimo cuando sea posible.

Solución:

a)      Primero averiguaremos para qué valores de x la fracción es positiva o igual a cero. Para ello calculamos los valores que hacen cero al numerado y al denominador de la fracción algebraica.

x – 1 = 0 → x = 1                   3 – x = 0 → –x = –3 → x = 3  

Ahora hacemos el siguiente cuadro:

Como el cociente ha de ser mayor o igual que cero, o sea positivo o cero, la solución es el intervalo de signo positivo.

D = [1, 3[, luego el conjunto está acotado.

Extremo superior o supremo (D) = 3. Extremo inferior o ínfimo (D) = 1

Como el supremo no pertenece al intervalo no tiene máximo. Como el ínfimo pertenecer al intervalo es a su vez el mínimo.

 Mínimo (D) = 1

b)      Primero operaremos la inecuación.

Ahora estudiaremos para qué valores de x la inecuación es menor o igual que cero.

Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación: x² – 2x – 3 = 0

y entonces se hace el siguiente cuadro:

Como el producto ha de ser menor o igual que cero, o sea negativo o cero, la solución es el intervalo de signo negativo.

E = [–1, 3], luego el conjunto está acotado.

Extremo superior o supremo (E) = 3. Extremo inferior o ínfimo (E) = –1

Como el supremo pertenece al intervalo se trata, por tanto del máximo y como el ínfimo también pertenecer al intervalo es a su vez el mínimo.

Máximo (E) = 3. Mínimo (E) = –1

c)      Debemos solucionar el siguiente sistema:  

Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación: x² – 3x + 2 = 0

y entonces se hace el siguiente cuadro:

Como el producto ha de ser mayor que cero, o sea positivo, la solución es el intervalo de signo positivo, es decir, ]–∞, 1[ U ]2, +∞[.

La solución de la segunda inecuación es: ]0, +∞[.

Ahora hay que hallar la intersección de ambos intervalos.

La solución es el intervalo en donde coinciden las dos flechas, o sea, su intersección.

F = ]0, 1[ U ]2, +∞[, luego el conjunto no está acotado.

Extremo superior o supremo (F) = No tiene. Extremo inferior o ínfimo (E) = 0

Como no tiene supremo tampoco tiene máximo y como el ínfimo no pertenece al intervalo tampoco tiene mínimo.