Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Conjuntos acotados 02

    Posted on julio 14th, 2010 Miralles No comments

     

    Dados los siguientes conjuntos, estudiar si están o no acotados, indicado el supremo, ínfimo, máximo y mínimo cuando sea posible.

     

     

     

    Solución:

     

    a)      Primero averiguaremos para qué valores de x la fracción es positiva o igual a cero. Para ello calculamos los valores que hacen cero al numerado y al denominador de la fracción algebraica.

     

    x – 1 = 0 → x = 1                   3 – x = 0 → –x = –3 → x = 3  

     

    Ahora hacemos el siguiente cuadro:

     

     

    Como el cociente ha de ser mayor o igual que cero, o sea positivo o cero, la solución es el intervalo de signo positivo.

     

    D = [1, 3[, luego el conjunto está acotado.

     

    Extremo superior o supremo (D) = 3. Extremo inferior o ínfimo (D) = 1

     

    Como el supremo no pertenece al intervalo no tiene máximo. Como el ínfimo pertenecer al intervalo es a su vez el mínimo.

     

     Mínimo (D) = 1

     

    b)      Primero operaremos la inecuación.

     

     

    Ahora estudiaremos para qué valores de x la inecuación es menor o igual que cero.

     

    Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación: x2 – 2x – 3 = 0

     

     

     

    y entonces se hace el siguiente cuadro:

     

     

    Como el producto ha de ser menor o igual que cero, o sea negativo o cero, la solución es el intervalo de signo negativo.

     

    E = [1, 3], luego el conjunto está acotado.

     

    Extremo superior o supremo (E) = 3. Extremo inferior o ínfimo (E) = 1

     

    Como el supremo pertenece al intervalo se trata, por tanto del máximo y como el ínfimo también pertenecer al intervalo es a su vez el mínimo.

     

    Máximo (E) = 3. Mínimo (E) = 1

     

    c)      Debemos solucionar el siguiente sistema:  

     

     

    Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación: x2 – 3x + 2 = 0

     

     

     

    y entonces se hace el siguiente cuadro:

     

     

    Como el producto ha de ser mayor que cero, o sea positivo, la solución es el intervalo de signo positivo, es decir, ]∞, 1[ U ]2, +∞[.

     

    La solución de la segunda inecuación es: ]0, +∞[.

     

    Ahora hay que hallar la intersección de ambos intervalos.

     

     

    La solución es el intervalo en donde coinciden las dos flechas, o sea, su intersección.

     

    F = ]0, 1[ U ]2, +∞[, luego el conjunto no está acotado.

     

    Extremo superior o supremo (F) = No tiene. Extremo inferior o ínfimo (E) = 0

     

    Como no tiene supremo tampoco tiene máximo y como el ínfimo no pertenece al intervalo tampoco tiene mínimo.

     

     

     

     

     

     

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