Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre dos rectas 01

    Posted on junio 28th, 2010 Miralles No comments

     

    Calcula la distancia ente las rectas r: 3x – 5y + 2 = 0; s: 3x – 5y +1 = 0.

     

     

    Solución:

     

     

    Como los coeficientes de x e y son iguales, ambas rectas son paralelas, luego la distancia que hay entre ellas, es la misma que la distancia que existe entre un punto de una de las rectas y la otra.

     

     

     

    Para hallar las coordenadas del punto A, daremos un valor cualquiera a una de las incógnitas de r y obtendremos las otra, por ejemplo: x = 1.

     

    3 · 1 – 5y + 2 = 0 → – 5y + 5 = 0 → y = 1   

     

    A(1, 1)

     

     Ahora se puede aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

     

    También se puede resolver hallando la recta que pasa por A y es perpendicular a r. Después se halla el punto de corte con s, de la recta hallada y la distancia entre este punto y el punto A, es la distancia que existe entre las dos rectas.

     

     

    La ecuación de una recta perpendicular a otra, se puede obtener intercambiando los coeficientes de x e y de la recta conocida, cambiando de signo a uno de ellos.

     

    Ecuación de la recta perpendicular a r:

     

     t: 5x + 3y + C = 0

     

    Para hallar el valor de C, debemos tener en cuenta que la recta hallada debe pasar por A.

     

    5 · 1 + 3 · 1 + C = 0 → C = –8 → 5x + 3y – 8  = 0

     

    Punto de corte entre la recta hallada y s:

     

     

     

    Coordenadas del punto de corte de t y s:

     

    B(37/34, 29/34)

     

    La distancia del punto A a B es la distancia que hay entre las rectas r y s.

     

     

     

     

     

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