Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas perpendiculares 01

    Posted on junio 9th, 2010 Miralles No comments
     
    Halla la ecuación general de recta perpendicular a la recta r: 2x – 6y + 1 = 0 y que pasa por el punto A (5, –2)
     
     
    Solución:
     
    Sean las rectas s de pendiente ms y la recta t de pendiente mt. Si ambas rectas son perpendiculares se cumplirá que:
     
    ms = –1/mt
     
    es decir que la pendiente de una es la opuesta de la inversa de la otra.
     
    Por tanto, lo primero que debemos hallar es la pendiente de r, para lo cual la expresaremos en forma explícita.
     
    2x – 6y + 1 = 0 → 6y = 2x + 1 → y = (2/6) x + (1/6) → y = (1/3) x + (1/6)
     
    La pendiente de r es m = 1/3, luego la pendiente de la recta buscada será: m’ = –3, y como ha de pasar por el punto A (5, –2), su ecuación punto pendiente es:
     
    y = –2 – 3 (x – 5)
     
    Ahora hay que expresarla en forma general:
     
    y = –2 – 3x + 15 → y = –3x +13 → 3x +y – 13 = 0
     
    También se puede hacer teniendo en cuenta que como las rectas han de ser perpendiculares, el producto escalar de sus vectores directores ha de ser igual ha cero. 
     
    Un vector director de r tiene como primera componente el coeficiente de y, y como segunda componente el coeficiente de x, con el signo cambiado en uno de ellos, es decir:
     
     
    Para hallar el vector director de la recta buscada, debemos tener en cuenta que ha de pasar por el punto A (5, –2) y que un punto genérico de ella es (x, y), luego un vector director de la misma será: (x – 5, y + 2), por tanto:
     
    (6, 2) · (x – 5 , y +2) = 0 → 6x – 30 + 2y + 4 = 0 → 6x + 2y – 26 = 0
     
    Dividiendo todos los términos por dos, obtendremos la ecuación general de la recta buscada.
     
    3x + y – 13 = 0

     

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