Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones de la recta 01

    Posted on mayo 26th, 2010 Miralles No comments
     
    Expresa la ecuación de la recta que pasa por el punto P (x0, y0) y tiene por vector director:
     
     
    en forma: vectorial, paramétrica, continua, punto pendiente y general.
     
     
    Solución:
     
     
    Ecuación vectorial:
     
    De la suma de vectores, se tienen que:
     
     
    siendo Q (x, y), un punto genérico de la recta r.
     
    Como el vector director tiene la misma dirección, se puede multiplicar por un valor t (parámetro), de manera que se cumpla que:
     
     
    Por tanto:
     
     
    Coordenadas de los vectores que intervienen en la suma:
     
     
    Haciendo la correspondiente sustitución en la expresión inicial, se obtiene la ecuación vectorial de la recta.
     
    (x, y) = (x0, y0) + t (ux, uy)
     
    Ecuación paramétrica:
     
    Operando la anterior expresión, tenemos que:
     
    (x, y) = (x0, y0) + (tux, tuy) → (x, y) = (x0 + tux, y0 + tuy)
     
    De esta última ecuación se obtiene la ecuación paramétrica de la recta.
     
     
    Ecuación continua:
     
    Ahora despejaremos el parámetro t del anterior sistema.
     
    x – x0 = tux → t = (x – x0)/ux               y – y0 = tuy → t = (y – y0)/uy
     
    Como el primer miembro de las anteriores ecuaciones son iguales, también lo serán los segundos miembros, por tanto:
     
     
    Ecuación punto pendiente:
     
    De la anterior expresión, se obtiene:
     
    y – y0 = (uy/ux) (x – x0)
     
    Haciendo, m = uy/ux, tenemos la ecuación punto pendiente de la recta r.
     
    y – y0 = m (x – x0)
     
    Conviene señalar que la pendiente de la recta es el conciente entre la segunda coordenada y la primera del vector director.
     
    Ecuación general o implícita:
     
    De la ecuación continua, tenemos:
     
    uy (x – x0) = ux ( y – y0) → uy x – uy x0 = ux y – ux y0
     
     uy x – uy x0 – ux y + ux y0 = 0 → uy x – ux y – uy x0 + ux y0 = 0
     
    Haciendo, A = uy, B = –ux y C = ux – uy, se obtiene la ecuación general de la recta.
     
    A x + B y + C = 0
     
     
     
     

     

     

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