El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas
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Ecuaciones de la recta 01
Posted on mayo 26th, 2010 No commentsExpresa la ecuación de la recta que pasa por el punto P (x0, y0) y tiene por vector director:
en forma: vectorial, paramétrica, continua, punto pendiente y general.Solución:
Ecuación vectorial:De la suma de vectores, se tienen que:
siendo Q (x, y), un punto genérico de la recta r.Como el vector director tiene la misma dirección, se puede multiplicar por un valor t (parámetro), de manera que se cumpla que:
Por tanto:
Coordenadas de los vectores que intervienen en la suma:
Haciendo la correspondiente sustitución en la expresión inicial, se obtiene la ecuación vectorial de la recta.(x, y) = (x0, y0) + t (ux, uy)Ecuación paramétrica:Operando la anterior expresión, tenemos que:(x, y) = (x0, y0) + (tux, tuy) → (x, y) = (x0 + tux, y0 + tuy)De esta última ecuación se obtiene la ecuación paramétrica de la recta.
Ecuación continua:Ahora despejaremos el parámetro t del anterior sistema.x – x0 = tux → t = (x – x0)/ux y – y0 = tuy → t = (y – y0)/uyComo el primer miembro de las anteriores ecuaciones son iguales, también lo serán los segundos miembros, por tanto:
Ecuación punto pendiente:De la anterior expresión, se obtiene:y – y0 = (uy/ux) (x – x0)Haciendo, m = uy/ux, tenemos la ecuación punto pendiente de la recta r.y – y0 = m (x – x0)Conviene señalar que la pendiente de la recta es el conciente entre la segunda coordenada y la primera del vector director.Ecuación general o implícita:De la ecuación continua, tenemos:uy (x – x0) = ux ( y – y0) → uy x – uy x0 = ux y – ux y0uy x – uy x0 – ux y + ux y0 = 0 → uy x – ux y – uy x0 + ux y0 = 0Haciendo, A = uy, B = –ux y C = ux – uy, se obtiene la ecuación general de la recta.A x + B y + C = 0
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