Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones trigonométricas 06

    Posted on abril 5th, 2010 Miralles No comments
    Resuelve las ecuaciones:
     
    a)      cos 2x + sen x = 4 sen2 x
     
    b)      tan (2x – 30º) = –1.
     
    Solución:
     
    a)      Primero pondremos la ecuación en función del ángulo x aplicando la fórmula del coseno del ángulo doble:
     
    cos 2x = cos2 x – sen2 x
     
    cos2 x – sen2 x + sen x = 4 sen2 x
     
    Ahora expresaremos la ecuación en función del seno de x aplicando la ecuación fundamental de la trigonometría:
     
    sen2 x + cos2 x = 1 → cos2 x = 1 – sen2 x
     
    1 – sen2 x – sen2 x + sen x = 4 sen2 x
     
    1 – sen2 x – sen2 x + sen x – 4 sen2 x = 0
     
     – 6 sen2 x + sen x +1 = 0 → 6 sen2 x – sen x – 1 = 0
     
      
    Como podemos observar en la siguiente figura, los senos del primer y segundo cuadrantes son iguales:
     
     
    por tanto:
     

    Las dos soluciones se repiten cada 360º que es el período del seno de un ángulo.

     
    Segunda solución:
     
    Los senos del tercer y cuarto cuadrantes también son iguales:
     
     
    luego:
     
     
    Como ya se ha dicho las dos soluciones se repiten cada 360º que es el período del seno de un ángulo.

     
    b)  La tangente de un ángulo vale 1 cuando dicho ángulo es de 45º, si vale –1 es porque el ángulo pertenece al segundo cuadrante o al cuarto cuadrante.
     
     

     

    Las dos soluciones se repiten cada 180º que es el período de la tangente de un ángulo.

     

    2 x – 30º = 315º + 180º k → 2 x = 30º + 315º + º80º k = 345º + 180 k  

     

    2 x – 30º = 135º + 180º k → 2 x = 30º +135º + 180º k = 165º + 180º k
     
     
    Esta última solución incluye la anterior.
     
     

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