El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas
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Ecuaciones trigonométricas 06
Posted on abril 5th, 2010 No commentsResuelve las ecuaciones:a) cos 2x + sen x = 4 sen2 xb) tan (2x – 30º) = –1.Solución:a) Primero pondremos la ecuación en función del ángulo x aplicando la fórmula del coseno del ángulo doble:cos 2x = cos2 x – sen2 xcos2 x – sen2 x + sen x = 4 sen2 xAhora expresaremos la ecuación en función del seno de x aplicando la ecuación fundamental de la trigonometría:sen2 x + cos2 x = 1 → cos2 x = 1 – sen2 x1 – sen2 x – sen2 x + sen x = 4 sen2 x1 – sen2 x – sen2 x + sen x – 4 sen2 x = 0– 6 sen2 x + sen x +1 = 0 → 6 sen2 x – sen x – 1 = 0
Como podemos observar en la siguiente figura, los senos del primer y segundo cuadrantes son iguales:
por tanto:
Las dos soluciones se repiten cada 360º que es el período del seno de un ángulo.
Segunda solución:Los senos del tercer y cuarto cuadrantes también son iguales:.jpg)
luego:.jpg)
Como ya se ha dicho las dos soluciones se repiten cada 360º que es el período del seno de un ángulo.b) La tangente de un ángulo vale 1 cuando dicho ángulo es de 45º, si vale –1 es porque el ángulo pertenece al segundo cuadrante o al cuarto cuadrante..jpg)
Las dos soluciones se repiten cada 180º que es el período de la tangente de un ángulo.
2 x – 30º = 315º + 180º k → 2 x = 30º + 315º + º80º k = 345º + 180 k
2 x – 30º = 135º + 180º k → 2 x = 30º +135º + 180º k = 165º + 180º k
Esta última solución incluye la anterior.
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