Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones trigonométricas 05

    Posted on marzo 31st, 2010 Miralles No comments
     
    Resuelve la ecuación: cos x · cos 2x + 2 cos2 x = 0.
     
     
    Solución:
     
    Para resolver este tipo de ecuaciones es conveniente, primero, poner la ecuación en función del mismo ángulo, en este caso en función de x, y, después, en función del seno o del coseno de x.
     
    Para conseguir lo primero, utilizaremos la ecuación del coseno del ángulo doble:
     
    cos 2x = cos2 x – sen2 x
     
    Sustituyendo en la ecuación inicial, la tendremos en función del ángulo x.
     
    cos x · (cos2 x – sen2 x) + 2 cos2 x = 0
     
    Ahora, utilizaremos la ecuación fundamental de la trigonometría: sen2 x + cos2 x = 1, de la que despejaremos sen2 x y sustituiremos en la anterior ecuación, con el fin de que se quede en función del coseno de x.
     
    cos x · [cos2 x – (1 – cos2 x)] + 2 cos2 x = 0
     
    cos x · (cos2 x – 1 + cos2 x) + 2 cos2 x = 0
     
    cos x · (2 cos2 x – 1) + 2 cos2 x = 0
     
    2 cos3 x – cos x + 2 cos2 x = 0
     
    Haciendo el cambio: cos x = t y sustituyendo en la anterior ecuación se obtiene la siguiente expresión:
     
    2 t3 + 2 t2 – t = 0 → t (2 t2 + 2 t – 1) = 0
     
    Una de las soluciones es: t = 0 y las otras se pueden obtener de: 2 t2 + 2 t – 1 = 0
     
     
    Las dos soluciones se repiten cada 360º que es el período del coseno de un ángulo.
     
    Estos dos resultados se pueden incluir en uno único:
     
     
    La solución:
     
     
    no es válida ya que el coseno de un ángulo no puede ser menor que –1.
     
    Si:
     
     
    Las dos últimas soluciones son debidas a que el coseno de los ángulos del primer cuadrante y del cuarto son iguales.
     
     
     

     

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