Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones trigonométricas 04

    Posted on febrero 24th, 2010 Miralles No comments
     
    Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
     
    a)      sen 3x = – 1
     
    b)      2 cos x = 3 tg x
     
    c)      2 cos2 x = 2 – sen x
     
    d)      tg x + 3 ctg x = 4
     
    e)      3 sec x – 4 = 4 cos x
     
     
    Solución:
     
    a)      sen 3x = – 1
    sen 3x = – 1 → 3x = arc sen (– 1) = 270º + 360 º k
     
     
    b)      2 cos x = 3 tg x
     
    2 cos x = 3 (sen x / cos x) → 2 cos x · cos x = 3 sen x → 2 cos2 x = 3 sen x
     
    2 (1 – sen2 x) = 3 sen x → 2 – 2 sen2 x = 3 sen x → –2 sen2 x – 3 sen x + 2 = 0
     
     2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0
     
    Haciendo sen x = t, se obtiene la siguiente ecuación:
     
    2 t2 + 3 t – 2 = 0
     
     
    La solución t = 2 no es valida, porque daría: sen x = – 2 y el seno de un ángulo nunca puede ser menor que –1.
     
     
    Hay dos soluciones porque el seno de los ángulos del primer cuadrante y el seno de los ángulos del segundo cuadrante son iguales.
     
    c)      2 cos2 x = 2 – sen x
     
    2 cos2 x = 2 – sen x → 2 (1 – sen2 x) = 2 – sen x → 2 – 2 sen2 x = 2 – sen x
     
      2 sen2 x + sen x = 0 → sen x (– 2 sen x + 1) = 0
     
    De la última ecuación se obtienen dos soluciones:
     
     sen x = 0 y – 2 sen x + 1 = 0 → – 2 sen x = – 1 → sen x = 1/2
     
    De la primer solución se obtiene:
     
     
    Estos dos resultados se pueden englobar en uno: x = 180º k
     
    De la segunda solución:
     
     
    Los dos resultados son debidos a que el seno de los ángulos del primer cuadrante y seno de los ángulos del segundo cuadrante son iguales.
     
    d)      tg x + 3 ctg x = 4
     
    tg x + 3 ctg x = 4 → tg x + 3 (1 / tg x) = 4 → tg2 x + 3 = 4 tg x
     
    tg2 x – 4 tg x + 3 = 0  
     
    Ahora se hace tg x = t y se obtiene la siguiente ecuación:
     
    t2 – 4 t +3 = 0
     
     
    Deshaciendo el cambio:
     
     
    e)      3 sec x – 4 = 4 cos x
     
    3 sec x – 4 = 4 cos x → 3 (1 / cos x) – 4 = 4 cos x
     
    Multiplicando todos los términos de la última ecuación por cos x, se obtiene:
     
    3 – 4 cos x = 4 cos2 x → 4 cos2 x + 4 cos x – 3 = 0
     
    Haciendo el cambio: cos x = t, tenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
     
    4 t2 + 4 t – 3 = 0
     
    cuya solución es:
     
     
    La solución t = 3/2 no es valida, porque resultaría que el coseno del ángulo es menor que menos uno, cosa que nunca puede ser.
     
    El seno y el coseno de un ángulo nunca pueden ser mayores que 1 ni menores que –1.
     
     
    Hay dos soluciones porque el coseno de los ángulos del primer cuadrante y el coseno de los ángulos del cuarto cuadrante son iguales.
     

     

     

     

     

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