El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas
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Ecuaciones trigonométricas 02
Posted on febrero 19th, 2010 No commentsResuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen (x + 30º) = cos xb) 2 cos x + 1 = 0c) 2 sen2 x – cos x – 1 = 0Solución:a) sen (x + 30º) = cos x
Si nos fijamos en la figura tenemos que:sen (90º – α) = a = cos αAplicando a este problema:sen (x + 30º) = sen (90º – x)x + 30º = 90º – xx + x = 90º – 30º2 x = 60 º
Al resultado se le añade 360º k, es decir una, dos, tres… vueltas completas, porque el valor del seno de un ángulo se repite cada giro completo, tanto si es en sentido de las agujas del reloj como si es en contra.
b) 2 cos x + 1 = 0
2 cos x + 1 = 0 → 2 cos x = – 1cos x = –1/2 → x = 120º + 360º k
Si nos fijamos en la figura hay otra solución, ya que el coseno de los ángulos del segundo y tercer cuadrante son iguales.x = (180º + 60º) = 240º + 360º kA los resultados se le añada 360º k (k es un número entero), pues el valor del coseno de un ángulo se repite cada vuelta completa, es decir, cada 360º y lo mismo ocurre con el seno, como ya se ha dicho en el apartado anterior.b) 2 sen2 x – cos x – 1 = 0Para resolver este tipo de ecuación trigonométrica necesitamos únicamente que esté en función del seno o del coseno. En este caso es más fácil ponerla en función del coseno utilizando la ecuación fundamental de la trigonometría.sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 – cos2 xSustituyendo en la ecuación inicial, tenemos:2 (1 – cos2 x) – cos x – 1 = 0 → 2 – 2 cos2 x – cos x – 1 = 0
De acuerdo con la anterior figura:
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