Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones trigonométricas 02

    Posted on febrero 19th, 2010 Miralles No comments

     

    Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

     
    a)      sen (x + 30º) = cos x
     
    b)      2 cos x + 1 = 0
     
    c)      2 sen2 x – cos x – 1 = 0
     
     
    Solución:
     
    a)      sen (x + 30º) = cos x

     

     

    Si nos fijamos en la figura tenemos que:
     
    sen (90º – α) = a = cos α
     
    Aplicando a este problema:
     
    sen (x + 30º) = sen (90º – x)
     
    x + 30º = 90º – x
     
    x + x = 90º – 30º
     
    2 x = 60 º
     

     

    Al resultado se le añade 360º k, es decir una, dos, tres… vueltas completas, porque el valor del seno de un ángulo se repite cada giro completo, tanto si es en sentido de las agujas del reloj como si es en contra.

     

     b)      2 cos x + 1 = 0

    2 cos x + 1 = 0 → 2 cos x = – 1
     
    cos x = –1/2 → x = 120º + 360º k 
     
     
    Si nos fijamos en la figura hay otra solución, ya que el coseno de los ángulos del segundo y tercer cuadrante son iguales.
     
    x = (180º + 60º) = 240º + 360º k

     

    A los resultados se le añada 360º k (k es un número entero), pues el valor del coseno de un ángulo se repite cada vuelta completa, es decir, cada 360º y lo mismo ocurre con el seno, como ya se ha dicho en el apartado anterior.
    b)      2 sen2 x – cos x – 1 = 0
     
    Para resolver este tipo de ecuación trigonométrica necesitamos únicamente que esté en función del seno o del coseno. En este caso es más fácil ponerla en función del coseno utilizando la ecuación fundamental de la trigonometría.
     
    sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 – cos2
     
    Sustituyendo en la ecuación inicial, tenemos:
     
    2 (1 – cos2 x) – cos x – 1 = 0 → 2 – 2 cos2 x – cos x – 1 = 0
     
     
     
    De acuerdo con la anterior figura:
     
     

     

     

     

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