Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Relación entre las razones trigonométricas de los diferentes cuadrantes 01

    Posted on febrero 10th, 2010 Miralles No comments
     
    Hallar sin calculadora:
     
     
     
    Solución:

     

    Antes de realizar los diferentes apartados de este problema, debemos considerar los siguientes puntos:

     

    Primero:
     
    Tomemos una circunferencia de radio igual a uno:
     
     
    Calculemos el valor del seno y coseno del ángulo α:
     
    sen α = y / 1    cos α = x / 1
     
    Luego se puede tomar como seno del ángulo su proyección sobre el eje de ordenadas y, como coseno, su proyección sobre el eje de abscisas, es decir:
     
     y = sen α         x = cos α

     

    Por tanto los valores del seno y el coseno de los ángulos 180º y 270º, respectivamente, son:

     
    sen 180º = 0;              cos 180º = –1;             sen 270º = –1;            cos 270º = 0
     
    Segundo:                    
     
    Debemos recordar que π radianes es igual a 180º.
     
    Tercero:
     
    Para saber el valor del seno y coseno de los ángulos: 0º, 30º, 45º, 60º y 90º, se pueden utilizar las siguientes reglas nemotécnicas:

     

    (Los valores del  coseno se escriben en sentido contrario que los del seno)
     
    Las otras razones trigonométricas (tangente, cotangente, etc) son derivadas del seno y coseno, por tanto únicamente hay que utilizar su equivalencia.
       
      
    Se trata de un ángulo que se encuentra en el tercer cuadrante, luego debemos averiguar si se puede poner como suma de 180º y algún otro ángulo cuyo seno conocemos (30º, 45º o 60º). En este caso es 180º más 45º.
     
     

    Si nos fijamos en la figura ambos triángulos son el mismo, lo único que ha ocurrido es que unos de ellos ha sufrido un giro con relación al otro, por tanto las proyecciones sobre el eje Y son iguales pero de signo opuesto ( lo mismo ha ocurrido con las proyecciones sobre el eje X), luego:

     

     

     
     

     

    En esta ocasión estamos ante un ángulo que se encuentra en el segundo cuadrante, luego intentaremos ver si se puede poner como diferencia de 180º y algún otro ángulo cuyo coseno se conoce (30º, 45º o 60º). En este caso es 180º menos 60º. 
     

     

    Como en el caso anterior, ambos triángulos son iguales, aunque se encuentran en diferente posición, cosa que hace que sus proyecciones sobre el eje X sean iguales pero opuestas (las proyecciones sobre el eje Y también son iguales), por tanto:
     

    cos 120º = cos (180º – 60º) = – cos 60º = – 1/2

     

      c)  tg = 300º
     
    En este caso, primero trabajaremos con el seno y el coseno del ángulo y después aplicaremos los resultados obtenidos a la tangente del mismo.
     

    El ángulo dado se encuentra en el cuarto cuadrante, luego debemos ver si se puede poner como diferencia de 360º y algún otro ángulo cuyo seno y coseno conocemos (30º, 45º o 60º). En este caso es 360º menos más 60º.

     

     

    Ahora las proyecciones sobre el eje Y son iguales pero de sentido opuesto, mientras que las proyecciones sobre el eje X son iguales, por tanto:
     
    sen 300º = – sen 60º
     
    cos 300º = cos 60º 
     
     
     
    d)   Finalmente tenemos un ángulo que es mayor de 360º, es decir, un ángulo formado por varias vueltas completas y parte de una vuelta. Si dividimos 810 entre 360 obtendremos de cociente 2 y de resto 90, lo que significa dos vueltas completas y 90º, por tanto:
     
    sen 810º = sen (2 · 360º + 90º) = sen 90º = 1
     
     
     
     

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