Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Índice de ejercicios y problemas resueltos de Matemáticas

    Posted on noviembre 25th, 2009 Miralles No comments

      

    Este post es una recopilación de todos los temas a los que pertenecen los ejercicios y problemas resueltos de matemáticas de este  Blog. 

     

    ARITMÉTICA:

             EL NÚMERO:

                       Números naturales: Máximo común divisor (M. C. D) y mínimo común múltiplo (m. c. m). Múltiplos y divisores.

                       Números enteros: Suma, diferencia, producto, cociente y potencia.

                     Números racionales: Suma, diferencia, producto, cociente y potencia de números fraccionarios. Suma y diferencia de números decimales. Conversión de un decimal a fracción (fracción generatriz) y viceversa.

                       Números irracionales: Suma, diferencia, producto, cociente y potencia. Racionalización.

                       Números reales: Operaciones.

                       Notación científica: Escritura. Operaciones.

     

             PROGRESIONES ARITMÉTICAS:

    Problemas.

            

             PROGRESIONES GEOMÉTRICAS:    

    Problemas.

     

             MATEMÁTICAS COMERCIALES:

                       Regla de tres simple. Regla de tres compuesta. Porcentajes. Repartos proporcionales. Interés simple y descuento. Interés compuesto. Capitalizaciones. Amortización de préstamos.

     

    ÁLGEBRA:

             POLINOMIOS:

                       OPERACIONES CON POLINOMIOS:

                                Suma y diferencia de polinomios. Producto de polinomios. Cociente de polinomios. Teorema del resto. Valor numérico de un polinomio. Regla de Ruffini. Extracción de factores comunes. Factorización. Máximo común divisor (M.C.D) y mínimo común múltiplo (m.c.m). Simplificación de fracciones algebraicas. Suma, diferencia, producto y conciente de fracciones algebraicas. Operaciones combinadas de fracciones algebraicas. Binomio de Newton.

                      

    ECUACIONES:

                       Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones de segundo grado. Propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones bicuadradas. Ecuaciones de grado superior a dos. Ecuaciones con fracciones algebraicas. Ecuaciones irracionales. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas. Ecuaciones exponenciales. Sistemas de ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logarítmicas. Sistemas de ecuaciones logarítmicas. Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

     

                       INECUACIONES:

                                Inecuaciones lineales con una incógnita. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Inecuaciones con fracciones algebraicas y una incógnita. Sistemas lineales de inecuaciones con una incógnita. Sistemas lineales de inecuaciones con dos incógnitas. Sistemas no lineales de inecuaciones con una incógnita. Inecuaciones con valor absoluto.

     

            COMBINATORIA:

                       Variaciones ordinarias. Variaciones con repetición. Permutaciones ordinarias. Permutaciones con repetición. Combinaciones ordinarias. Operaciones con variaciones, permutaciones y combinaciones.       

     

             NÚMEROS COMPLEJOS:

                       Operaciones con números complejos en forma binómica. Parte real y parte imaginaria de un número complejo. Operaciones con números complejos en forma polar. Ecuaciones con números complejos. Operaciones con números complejos en forma trigonométrica.

     

             PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA.

     

    ÁLGEBRA LINEAL:

             SISTEMAS DE ECUACIONES. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN:

                     

                        Resolución de sistemas no  homogéneos por el método de Gauss. Discusión de sistemas no homogéneos por Gauss. Discusión y resolución de sistemas no homogéneos por Gauss. Eliminación de parámetros por Gauss. Resolución de sistemas homogéneos por Gauss. Discusión y resolución de sistemas homogéneos por Gauss. Resolución de sistemas no homogéneos por determinantes: Regla de Cramer. Estudio de sistemas no homogéneos por determinantes: Teorema de Rouché. Eliminación de parámetros por determinantes. Resolución de sistemas homogéneos por determinantes. Estudio de sistemas homogéneos por determinantes: Teorema de Rouché. Estudio y resolución de sistemas homogéneos por determinantes: Teorema de Rouché. Resolución de problemas.

     

             MATRICES:

     

    Operaciones con matrices. Cálculo de la matriz inversa por el método Gauss – Jordan. Operaciones con matrices. Ecuación matricial. Combinación lineal de matrices. Sistemas de ecuaciones con matrices. Rango de un matriz. Potencia n–enésima de una matriz. Problemas con matrices.

     

             DETERMINANTES:

     

                       Cálculo de determinantes. Propiedades. Menor complementario y adjunto. Rango de una matriz. Matriz inversa. Ecuaciones con determinantes. Determinante de Vandermonde.

             PROGRAMACIÓN LINEAL:

                      Optimización. Aplicaciones. Problema del transporte.

     

                   

    GEOMETRÍA:

             PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS:

                       Teorema de Tales.

            

    SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:

             Razón de semejanza. Teoremas de Pitágoras, de los catetos y de la altura.

     

    ÁNGULOS Y ARCOS:

             Medida indirecta de los ángulos.

     

    FIGURAS POLIGONALES:

             Triángulos: Área.

             Cuadriláteros. Perímetro y área.

     

    CUERPOS GEOMÉTRICOS:

             Prisma. Área y volumen.

             Pirámide. Área y volumen.

             Cilindro. Área y volumen.

             Cono. Área y volumen.

             Esfera. Área y volumen.

     

    TRIGONOMETRÍA:

             Razones trigonométricas de un ángulo. Relación entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo. Relación entre las razones trigonométricas de los diferentes cuadrantes. Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos. Razones trigonométricas del ángulo doble. Razones trigonométricas del ángulo mitad. Transformación de sumas en productos y viceversa. Identidades trigonométricas y simplificación. Ecuaciones trigonométricas. Sistemas de ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos, aplicaciones. Resolución de triángulos cualesquiera, aplicaciones.    

     

    GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA:

             VECTORES:

    Representación, componentes, módulo, dirección. Producto escalar. Operaciones con vectores.

             LA RECTA EN EL PLANO:

                       Ecuaciones de la recta. Rectas paralelas, perpendiculares y secantes. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas. Ángulo formado por dos rectas.

             CÓNICAS:

                      La circunferencia. La elipse. La hipérbola. La parábola.

     

    GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO:

     

             VECTORES EN EL ESPACIO:

     

                      Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. Coordenadas de un vector respecto de una base. Operaciones. Producto escalar de vectores. Producto vectorial de vectores. Producto mixto.

     

             ESPACIO AFÍN:

     

                      Ecuaciones de la recta. Puntos en el espacio. Ecuaciones del plano. Rectas paralelas. Planos paralelos. Planos y rectas paralelos. Rectas secantes. Intersección de recta y plano. Posiciones relativas de dos rectas. Posición relativa de dos planos. Posiciones relativas de una recta y un plano. Haz de planos que pasan por una recta. Haz de planos paralelos. Posición relativa de tres planos. Rectas que se apoyan en otras dos.

     

             ESPACIO EUCLÍDEO Y MÉTRICO:

                      Rectas perpendiculares. Recta perpendicular a un plano. Perpendicular común a dos rectas. Planos perpendiculares. Proyecciones ortogonales. Direcciones de rectas y planos. Ángulo formado por dos rectas. Ángulo formado por una recta y un plano. Bisectriz de un ángulo. Distancia entre un punto y una recta. Distancia entre un punto y un plano. Distancia entre dos rectas. Distancia entre una recta y un plano. Distancia entre dos planos. Área de un triángulo. Área de un paralelogramo. Volumen del paralelepípedo y del tetraedro. 

     

    ANÁLISIS MATEMÁTICO:

             EL NÚMERO REAL:

                       Intervalos y entornos. Conjuntos acotados.

             SUCESIONES DE NÚMEROS REALES:

                       Término general de una sucesión. Monotonía y acotación de sucesiones. Límites de una sucesión (idea intuitiva y definición). Cálculo de límites. Aplicación del número e al cálculo de límites de sucesiones.

             FUNCIONES REALES:

                       Dominio de una función. Representación gráfica de una función: Estudio e interpretación. Expresión analítica de una función. Aplicaciones. Composición de funciones y función inversa. Función exponencial. Aplicaciones. Función logarítmica. Logaritmo de un número. Aplicación de las propiedades de los logaritmos. Aplicaciones.

             LÍMITES DE FUNCIONES:

                       Límite de una función en un punto. Límite de una función en el infinito. Límites laterales de una función en un punto. Límites infinitos. Aplicaciones del límite de una función real. Aplicación del número e al cálculo de límites de funciones.

             CONTINUIDAD:

                       Continuidad de una función en un punto.

             PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN CONTINUA:

                      Teorema de Bolzano. Teorema de los valores intermedios (Darboux). Teorema de Weierstrass.

             DERIVACIÓN:

                       Función derivada: definición. Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales. Cálculo de derivadas de funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas. Cálculo de derivadas de funciones trigonométricas. Regla de la cadena. Tasa de variación de una función. Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Monotonía, extremos absolutos y relativos, curvatura y puntos de inflexión. Problemas de optimización. Estudio y representación de funciones. Derivadas laterales. Función continua y derivable.

     

             PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES:

     

                     Teorema de Rolle.Teorema de Cauchy. Teorema de Lagrange. Regla de L’Hôpital.

             INTEGRAL INDEFINIDA:

                      Integrales indefinidas inmediatas. Integrales reducibles a inmediatas. Integración por sustitución o cambio de variable. Integración por partes. Integración de funciones racionales: Denominador con raíces reales simples. Denominador con una raíz real múltiple. Denominador con raíces reales simples y múltiples. Denominador sin raíces reales. Denominador con raíces reales y complejas simples. Integración de funciones irracionales. Integración de funciones trigonométricas.

             INTEGRAL DEFINIDA:

                      Teorema fundamental del cálculo.

     

    PROBABILIDAD:

             ALGEBRA DE SUCESOS:

                       Sucesos. Clasificación de sucesos: Iguales, distintos, seguro, imposible, complementarios e incompatibles. Inclusión e igualdad de sucesos. Operaciones con sucesos: Unión, intersección, diferencia y complemento. Propiedades de los sucesos: Asociativa, conmutativa, idempotente, simplificativa, complementación. Sucesos compatibles y sucesos incompatibles. Sistema completo de sucesos.

             PROBABILIDAD CLÁSICA:

                       Propiedades de la probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes y sucesos independientes. Teorema de la probabilidad total. Fórmula de Bayes.

             DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS:

                       Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Función de distribución de una variable aleatoria discreta. Parámetros de una variable aleatoria discreta. Esperanza matemática. Función de probabilidad de la variable aleatoria binomial. Función de distribución de la variable aleatoria binomial. Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial. Distribución binomial: Aplicaciones. Cálculo de probabilidades de la distribución binomial.

             DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS:

    Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua (V. A. C.) Función de distribución de una variable aleatoria continua. Parámetros de una variable aleatoria continua. Cálculo de probabilidades de una variable aleatoria continua. Distribución normal reducida. Tipificación de una variable aleatoria normal. Media, varianza y desviación típica de la distribución normal. Cálculo de probabilidades de la distribución normal. La binomial como aproximación de la normal. 

    ESTADISTICA:

             DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES:

                       Medidas de centralización de una variable discreta. Medidas de dispersión de una variable discreta. Medidas de centralización de una variable continua. Medidas de dispersión de una variable continua.

             DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES:

             Tablas de doble entrada. Parámetros de la variable estadística bidimensional. Correlación lineal. Coeficiente de Pearson. Rectas de regresión. Aplicaciones. Estimaciones.

     

     

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