Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Aplicaciones. Estimaciones 11

     

    El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número, viene expresado en la siguiente tabla:

    Nº de  horas

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    Nº de bacterias por unidad de volumen

    12

    19

    23

    34

    56

    62

     

    a)  Indica el grado de dependencia lineal. Interprétala

    b)  Al cabo de 7 horas ¿cuántas bacterias habrá por unidad de volumen? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

    c)  ¿Y al cabo de 50 horas? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

    d)  ¿Después de cuántas horas se conseguiría obtener 40 bacterias por unidad de volumen?

     

     

    Solución:

    Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

    Horas (x)

    Bacterias (y)

    0

    12

    1

    19

    2

    23

    3

    34

    4

    56

    5

    62

     

    A simple vista podemos afirmar que existe una dependencia estadística o correlación entre las variables X e Y, porque los puntos de la nube se agrupan en torno a una posible recta.

    Grado:

    Al ser esta recta reconocible se puede afirmar que la correlación es fuerte.

    Sentido:

    Positivo (cuando X aumenta Y aumenta)

    Tipo:

    Correlación lineal, ya que la nube de puntos se distribuye alrededor de una recta.

    a)  Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    0

    12

    0

    144

    0

    1

    19

    1

    361

    19

    2

    23

    4

    529

    46

    3

    34

    9

    1156

    102

    4

    56

    16

    3136

    224

    5

    62

    25

    3844

    310

    15

    206

    55

    9170

    701

    Coeficiente de correlación: 

    r = σxyx·σy

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My

    Medias:

    Mx = Σxi/n              My = Σyi/n

    Desviaciones típicas: 

    Como n = 6:

    Mx = 15/6 = 2,5

    My = 206/6 = 34,3

    σxy = (701/6) – 2,5·34,3 = 31,1

    r = 31,1/1,7·18,8 = 0,97

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva muy fuerte, como habíamos  predicho a la vista del diagrama de dispersión, ya que r es próxima a 1.

    b)  Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 34,3 + (31,1/1,72)·(x – 2,5)

    y = 34,3 + 10,8·(x – 2,5)

    y = 34,3 + 10,8 x – 27

    y = 10,8 x + 7,3

    x = 7 → y = 10,8·7 + 7,3 = 82,9

    Para x = 7 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 83 bacterias por unidad de volumen.

    La estimación es muy fiable pues el valor de la variable x se encuentra muy cerca del intervalo [0, 5] y el grado de dependencia lineal es muy fuerte.

    c)   

    x = 50 → y = 10,8·50 + 7,3 = 547,3

    Para x = 50 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 547 bacterias por unidad de volumen.

    A pesar de que el grado de correlación es alto, esta predicción es menos fiable que la anterior porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [0, 5])

    d)     

    y = 40 → 40 = 10,8 x + 7,3

    10,8 x = 40 – 7,3 = 32,7

    x = 32,7/10,8 ≈ 3

    Para y = 40 bacterias por unidad de volumen es muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 3 horas.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 10

     

    Midiendo la potencia en CV y el consumo en L/100 km en seis modelos diferentes de coches, hemos obtenido los siguientes resultados:

    x: POTENCIA

    110

    100

    120

    140

    150

    90

    y: CONSUMO

    5,8

    5,8

    5,9

    6,2

    6,2

    5

     

    a)  Halla la recta de regresión de y sobre x

    b)  Calcula el consumo de un coche cuya potencia sea de 190 CV

    c)  ¿Es fiable la estimación anterior? Explica por qué

     

     

    Solución:

    a)  Recta de regresión de y sobre x:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    90

    5

    8100

    25

    450

    100

    5,8

    10000

    33,64

    580

    110

    5,8

    12100

    33,64

    638

    120

    5,9

    14400

    34,81

    708

    140

    6,2

    19600

    38,44

    868

    150

    6,2

    22500

    38,44

    930

    710

    34,9

    86700

    203,97

    4174

     

    Medias (n = 6):

    Mx = Σxi/n = 710/6 = 118,33

    My = Σyi/n = 34,9/6 = 5,82

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (4174/6) – 118,33·5,82 = 6,99

    Desviaciones típicas: 

    Recta de regresión de y sobre x:

    y = 5,82 + (6,99/21,172)·(x – 118,33)

    y = 5,82 + 0,016·(x – 118,33)

    y = 5,82 + 0,016 x – 1,89

    y = 0,016 x + 3,93

    Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy = 6,99/21,17·0,35 = 0,94

    b)    

    x = 190 → 0,016·190 + 3,93 ≈ 7

    Para un coche cuya potencia sea de 190 CV es muy probable que su consumo sea 7 litros por cada 100 km.

    c)  La estimación es poco fiable pues el valor de la variable x no se encuentra cerca del intervalo [90, 150], aunque el grado de correlación es alto.