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Aplicaciones. Estimaciones 09
Un preparado farmacéutico pierde eficacia con el tiempo. Supuesto que al cabo de 2, 3, 4, 5 y 6 meses pierde el 10%, 20%, 40%, 60% y 80%, respectivamente, calcular:
a) La relación entre eficacia y tiempo.
b) Cuándo no producirá ningún efecto el medicamento.
Solución:
a)
x: Tiempo (meses)
2
3
4
5
6
y: Eficacia (%)
90%
80%
60%
40%
20%
Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.
xi
y1
2
90
3
80
4
60
5
40
6
20
A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal negativa.
Calculamos el coeficiente de Pearson y valoramos un posible ajuste mediante una recta de regresión.
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
2
90
4
8100
180
3
80
9
6400
240
4
60
16
3600
240
5
40
25
1600
200
6
20
36
400
120
20
290
90
20100
980
Coeficiente de correlación de Pearson:
r = σxy/σx·σy
Medias (n = 5):
Mx = Σxi/n = 20/5 = 4
My = Σyi/n = 290/5 = 58
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (980/5) – 4·58 = –36
Desviaciones típicas:
r = –36/1,4·25,6 = –1
Podemos comprobar que existe una correlación lineal negativa perfecta, ya que r es igual a –1.
La relación entre eficacia y tiempo es funcional.
b) Recta de regresión del tiempo sobre la eficacia (X sobre Y):
x = Mx + (σxy/σy2)·(y – My)
x = 4 – (36/25,62)·(y – 58)
x = 4 – 0,055 y + 3,19
x = –0,055 y + 7,19
y = 0 → x = 7,19
A partir de los siete meses el medicamento no producirá efecto alguno.
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Aplicaciones. Estimaciones 08
Ocho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?
Solución:
x: edad
2
3
4
5
6
7
8
9
y: peso
14
18
25
30
32
35
40
42
Rectas de regresión.
Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):
x = Mx + (σxy/σy2)·(y – My)
Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
2
14
4
196
28
3
18
9
324
54
4
25
16
625
100
5
30
25
900
150
6
32
36
1024
192
7
35
49
1225
245
8
40
64
1600
320
9
42
81
1764
378
44
236
284
7658
1467
Medias (n = 8):
Mx = Σxi/n = 44/8 = 5,5
My = Σyi/n = 236/8 = 29,5
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125
Desviaciones típicas:
Recta de regresión de la edad sobre el peso:
x = 5,5 + (21,125/9,332)·(y – 29,5)
x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)
x = 5,5 + 0,24 y – 7,1
x = 0,24 y – 1,6
Recta de regresión del peso sobre la edad:
y = 29,5 + (21,125/2,292)·(x – 5,5)
y = 29,5 + 4·(x – 5,5)
y = 29,5 + 4 x – 22
y = 4 x + 7,5
Coeficiente de correlación lineal: r = σxy/σx·σy, varía entre –1 y + 1.
Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.
Si r > 0 la correlación es directa y si r = 1 la correlación es positiva perfecta.
r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989
Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.
Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.
y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12
Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.
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Aplicaciones. Estimaciones 07
En una muestra de ocho familias se considera la talla x, en cm, del padre y la talla y, también en cm, del hijo mayor, adulto. Los resultados fueron:
x
165
166
166
167
168
168
169
170
y
164
167
165
168
170
167
170
170
Hallar la ecuación de la recta de regresión de y sobre x y el coeficiente de correlación. ¿Cuál será la altura estimada del hijo cuyo padre mide 175 cm?
Solución:
Recta de regresión de y sobre x:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
165
164
27225
26896
27060
166
167
27556
27889
27722
166
165
27556
27225
27390
167
168
27889
28224
28056
168
170
28224
28900
28560
168
167
28224
27889
28056
169
170
28561
28900
28730
170
170
28900
28900
28900
1339
1341
224135
224823
224474
Medias (n = 8):
Mx = Σxi/n = 1339/8 = 167,375
My = Σyi/n = 1341/8 = 167,625
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (224474/8) – 167,375·167,625 = 3,02
Desviaciones típicas:
Recta de regresión de y sobre x:
y = 167,625 + (3,02/1,62)·(x – 167,375)
y = 167,625 + 1,18·(x – 167,375)
y = 167,625 + 1,18 x – 197,5
y =1,18 x – 29,88
Coeficiente de correlación:
r = 3,02/1,6·2,2 = 0,86
x = 175 → y = 1,18·175 – 29,88 ≈ 177
Para un padre que mide 175 cm es muy probable que la altura de su hijo se aproxime a 177 cm.
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Aplicaciones. Estimaciones 06
El índice de mortalidad y de una muestra de población que consumía diariamente x cigarrillos aparece en la tabla adjunta:
Nº de cigarrillo x
3
5
6
15
20
40
45
Índice de mortalidad y
0,2
0,3
0,3
0,5
0,7
1,4
1,5
a) Estudia la correlación entre x e y.
b) Halla la recta de regresión de y sobre x.
c) ¿Qué mortalidad se podría predecir para un consumidor de 60 cigarrillos diarios?
Solución:
a) Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
3
0,2
9
0,04
0,6
5
0,3
25
0,09
1,5
6
0,3
36
0,09
1,8
15
0,5
225
0,25
7,5
20
0,7
400
0,49
14
40
1,4
1600
1,96
56
45
1,5
2025
2,25
67,5
134
4,9
4320
5,17
148,9
Medias (n = 7):
Mx = Σxi/n = 134/7 = 19,14
My = Σyi/n = 4,9/7 = 0,7
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (148,9/7) – 19,14·0,7 = 7,87
Desviaciones típicas:
r = 7,87/15,8·0,5 = 0,996
Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
y = 0,7 + (7,87/15,82)·(x – 19,14)
y = 0,7 + 0,032·(x – 19,14)
y = 0,7 + 0,032 x – 0,6
y = 0,032 x + 0,1
c)
x = 60 → y = 0,032·60 + 0,1 ≈ 2
Aunque el grado de correlación es alto, la predicción no es muy fiable ya que el valor de la variable está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [3, 45]).
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Aplicaciones. Estimaciones 05
Las alturas y pesos de cinco alumnos varones de 1º de Bachillerato son:
Alumno:
A
B
C
D
E
X
Altura (m)
1,67
1,76
1,63
1,80
1,60
Y
Peso (kg)
60
65,5
55,1
89,9
49,9
Hallar:
a) Coeficiente de correlación, y comentar el valor obtenido.
b) Recta de regresión de Y sobre X.
c) ¿Qué peso se espera de un alumno que mida 1,80 m?
Solución:
a) Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy
siendo:
Covarianza: σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My Medias: Mx = Σxi/n; My = Σyi/n
Desviaciones típicas:
xi
yi
xi2
yi2
xi yi
1,6
49,9
2,56
2490,01
79,84
1,63
55,1
2,6569
3036,01
89,813
1,67
60
2,7889
3600
100,2
1,76
65,5
3,0976
4290,25
115,28
1,8
89,9
3,24
8082,01
161,82
8,46
320,4
14,3434
21498,28
546,953
Mx = 8,46/5 = 1,69
My = 320,4/5 = 64,1
σxy = (546,953/5) – 1,69·64,1 = 1,06
r = 1,06/0,1122·13,81 = 0,6841
Existe correlación positiva, por tanto, cuando una variable aumenta la otra también. Como r no está próxima a 1, la correlación es débil, luego poco fiable.
b) Recta de regresión Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
y = 64,1 + (1,06/0,013)·(x – 1,69)
y = 64,1 + 81,54·(x – 1,69)
y = 64,1 + 81,54 x – 137,80
y = 81,54 x – 73,7
c) Estimaciones:
x = 1,80 m → y = 81,54·1,80 – 73,7 ≈ 73,1 kg
La estimación no es buena pues si nos fijamos en la tabla debería haber salido un peso aproximado a 89,9 kg. Esto es lógico pues la correlación es muy pequeña.
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