Aplicaciones. Estimaciones 09

Un preparado farmacéutico pierde eficacia con el tiempo. Supuesto que al cabo de 2, 3, 4, 5 y 6 meses pierde el 10%, 20%, 40%, 60% y 80%, respectivamente, calcular:

a)  La relación entre eficacia y tiempo.

b)  Cuándo no producirá ningún efecto el medicamento.

Solución:

a)   

Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal negativa.

Calculamos el coeficiente de Pearson y valoramos un posible ajuste mediante una recta de regresión.

Coeficiente de correlación de Pearson:

r = σ_xy/σ_x·σ_y

  Medias (n = 5):

M_x = Σx_i/n = 20/5 = 4

M_y = Σy_i/n = 290/5 = 58

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (980/5) – 4·58 = –36

Desviaciones típicas: 

r = –36/1,4·25,6 = –1

Podemos comprobar que existe una correlación lineal negativa perfecta, ya que r es igual a –1.

La relación entre eficacia y tiempo es funcional.

b)  Recta de regresión del tiempo sobre la eficacia (X sobre Y):

x = M_x + (σ_xy/σ_y²)·(y – M_y)

x = 4 – (36/25,6²)·(y – 58)

x = 4 – 0,055 y + 3,19

x = –0,055 y + 7,19

y = 0 → x = 7,19

A partir de los siete meses el medicamento no producirá efecto alguno.

Aplicaciones. Estimaciones 08

Ocho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?

Solución:

Rectas de regresión.

Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):

x = M_x + (σ_xy/σ_y²)·(y – M_y)

Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Medias (n = 8):

M_x = Σx_i/n = 44/8 = 5,5

M_y = Σy_i/n = 236/8 = 29,5

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125

Desviaciones típicas: 

Recta de regresión de la edad sobre el peso:

x = 5,5 + (21,125/9,33²)·(y – 29,5)

x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)

x = 5,5 + 0,24 y – 7,1

x = 0,24 y – 1,6

Recta de regresión del peso sobre la edad: 

y = 29,5 + (21,125/2,29²)·(x – 5,5)

y = 29,5 + 4·(x – 5,5)

y = 29,5 + 4 x – 22

y = 4 x + 7,5

Coeficiente de correlación lineal: r = σ_xy/σ_x·σ_y, varía entre –1 y + 1.

Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989

Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12

Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.

Aplicaciones. Estimaciones 07

En una muestra de ocho familias se considera la talla x, en cm, del padre y la talla y, también en cm, del hijo mayor, adulto. Los resultados fueron:

Hallar la ecuación de la recta de regresión de y sobre x y el coeficiente de correlación. ¿Cuál será la altura estimada del hijo cuyo padre mide 175 cm?

Solución:

Recta de regresión de y sobre x:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x·σ_y

Medias (n = 8):      

M_x = Σx_i/n = 1339/8 = 167,375

M_y = Σy_i/n = 1341/8 = 167,625

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (224474/8) – 167,375·167,625 = 3,02

Desviaciones típicas: 

Recta de regresión de y sobre x: 

y = 167,625 + (3,02/1,6²)·(x – 167,375)

y = 167,625 + 1,18·(x – 167,375)

y = 167,625 + 1,18 x – 197,5

y =1,18 x – 29,88

Coeficiente de correlación:

r = 3,02/1,6·2,2 = 0,86

x = 175 → y = 1,18·175 – 29,88 ≈ 177

Para un padre que mide 175 cm es muy probable que la altura de su hijo se aproxime a 177 cm.

Aplicaciones. Estimaciones 06

El índice de mortalidad y de una muestra de población que consumía diariamente x cigarrillos aparece en la tabla adjunta:

a)  Estudia la correlación entre x e y.

b)  Halla la recta de regresión de y sobre x.

c)  ¿Qué mortalidad se podría predecir para un consumidor de 60 cigarrillos diarios?

Solución:

a)  Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x·σ_y

Medias (n = 7):

M_x = Σx_i/n = 134/7 = 19,14

M_y = Σy_i/n = 4,9/7 = 0,7

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (148,9/7) – 19,14·0,7 = 7,87

Desviaciones típicas: 

r = 7,87/15,8·0,5 = 0,996

Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.

b)  Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

y = 0,7 + (7,87/15,8²)·(x – 19,14)

y = 0,7 + 0,032·(x – 19,14)

y = 0,7 + 0,032 x – 0,6

y = 0,032 x + 0,1

c)    

x = 60 → y = 0,032·60 + 0,1 ≈ 2

Aunque el grado de correlación es alto, la predicción no es muy fiable ya que el valor de la variable está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [3, 45]).

Aplicaciones. Estimaciones 05

Las alturas y pesos de cinco alumnos varones de 1º de Bachillerato son:

Hallar:

a)  Coeficiente de correlación, y comentar el valor obtenido.

b)  Recta de regresión de Y sobre X.

c)  ¿Qué peso se espera de un alumno que mida 1,80 m?

Solución:

a)  Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x·σ_y

siendo:

Covarianza: σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y         Medias: M_x = Σx_i/n; M_y = Σy_i/n

Desviaciones típicas:

M_x = 8,46/5 = 1,69

M_y = 320,4/5 = 64,1

σ_xy = (546,953/5) – 1,69·64,1 = 1,06

r = 1,06/0,1122·13,81 = 0,6841

Existe correlación positiva, por tanto, cuando una variable aumenta la otra también. Como r no está próxima a 1, la correlación es débil, luego poco fiable.

b)  Recta de regresión Y sobre X:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

y = 64,1 + (1,06/0,013)·(x – 1,69)

y = 64,1 + 81,54·(x – 1,69)

y = 64,1 + 81,54 x – 137,80

y = 81,54 x – 73,7

c)  Estimaciones:

x = 1,80 m → y = 81,54·1,80 – 73,7 ≈ 73,1 kg

La estimación no es buena pues si nos fijamos en la tabla debería haber salido un peso aproximado a 89,9 kg. Esto es lógico pues la correlación es muy pequeña.