Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Aplicaciones. Estimaciones 09

     

    Un preparado farmacéutico pierde eficacia con el tiempo. Supuesto que al cabo de 2, 3, 4, 5 y 6 meses pierde el 10%, 20%, 40%, 60% y 80%, respectivamente, calcular:

    a)  La relación entre eficacia y tiempo.

    b)  Cuándo no producirá ningún efecto el medicamento.

     

     

    Solución:

    a)   

    x: Tiempo (meses)

    2

    3

    4

    5

    6

    y: Eficacia (%)

    90%

    80%

    60%

    40%

    20%

     

    Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

    xi

    y1

    2

    90

    3

    80

    4

    60

    5

    40

    6

    20

     

    A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal negativa.

    Calculamos el coeficiente de Pearson y valoramos un posible ajuste mediante una recta de regresión.

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    2

    90

    4

    8100

    180

    3

    80

    9

    6400

    240

    4

    60

    16

    3600

    240

    5

    40

    25

    1600

    200

    6

    20

    36

    400

    120

    20

    290

    90

    20100

    980

     

    Coeficiente de correlación de Pearson:

    r = σxyx·σy

      Medias (n = 5):

    Mx = Σxi/n = 20/5 = 4

    My = Σyi/n = 290/5 = 58

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (980/5) – 4·58 = –36

    Desviaciones típicas: 

    r = –36/1,4·25,6 = –1

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal negativa perfecta, ya que r es igual a –1.

    La relación entre eficacia y tiempo es funcional.

    b)  Recta de regresión del tiempo sobre la eficacia (X sobre Y):

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    x = 4 – (36/25,62)·(y – 58)

    x = 4 – 0,055 y + 3,19

    x = –0,055 y + 7,19

    y = 0 → x = 7,19

    A partir de los siete meses el medicamento no producirá efecto alguno.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 08

     

    Ocho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?

     

     

    Solución:

    x: edad

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    y: peso

    14

    18

    25

    30

    32

    35

    40

    42

     

    Rectas de regresión.

    Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    2

    14

    4

    196

    28

    3

    18

    9

    324

    54

    4

    25

    16

    625

    100

    5

    30

    25

    900

    150

    6

    32

    36

    1024

    192

    7

    35

    49

    1225

    245

    8

    40

    64

    1600

    320

    9

    42

    81

    1764

    378

    44

    236

    284

    7658

    1467

     

    Medias (n = 8):

    Mx = Σxi/n = 44/8 = 5,5

    My = Σyi/n = 236/8 = 29,5

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125

    Desviaciones típicas: 

    Recta de regresión de la edad sobre el peso:

    x = 5,5 + (21,125/9,332)·(y – 29,5)

    x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)

    x = 5,5 + 0,24 y – 7,1

    x = 0,24 y – 1,6

    Recta de regresión del peso sobre la edad: 

    y = 29,5 + (21,125/2,292)·(x – 5,5)

    y = 29,5 + 4·(x – 5,5)

    y = 29,5 + 4 x – 22

    y = 4 x + 7,5

    Coeficiente de correlación lineal: r = σxyx·σy, varía entre –1 y + 1.

    Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

    Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

    r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

    Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

    y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12

    Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 07

     

    En una muestra de ocho familias se considera la talla x, en cm, del padre y la talla y, también en cm, del hijo mayor, adulto. Los resultados fueron:

    x

    165

    166

    166

    167

    168

    168

    169

    170

    y

    164

    167

    165

    168

    170

    167

    170

    170

     

    Hallar la ecuación de la recta de regresión de y sobre x y el coeficiente de correlación. ¿Cuál será la altura estimada del hijo cuyo padre mide 175 cm?

     

     

    Solución:

    Recta de regresión de y sobre x:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    165

    164

    27225

    26896

    27060

    166

    167

    27556

    27889

    27722

    166

    165

    27556

    27225

    27390

    167

    168

    27889

    28224

    28056

    168

    170

    28224

    28900

    28560

    168

    167

    28224

    27889

    28056

    169

    170

    28561

    28900

    28730

    170

    170

    28900

    28900

    28900

    1339

    1341

    224135

    224823

    224474

     

    Medias (n = 8):      

    Mx = Σxi/n = 1339/8 = 167,375

    My = Σyi/n = 1341/8 = 167,625

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (224474/8) – 167,375·167,625 = 3,02

    Desviaciones típicas: 

    Recta de regresión de y sobre x

    y = 167,625 + (3,02/1,62)·(x – 167,375)

    y = 167,625 + 1,18·(x – 167,375)

    y = 167,625 + 1,18 x – 197,5

    y =1,18 x – 29,88

    Coeficiente de correlación:

    r = 3,02/1,6·2,2 = 0,86

    x = 175 → y = 1,18·175 – 29,88 ≈ 177

    Para un padre que mide 175 cm es muy probable que la altura de su hijo se aproxime a 177 cm.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 06

     

    El índice de mortalidad y de una muestra de población que consumía diariamente x cigarrillos aparece en la tabla adjunta:

    Nº de cigarrillo x

    3

    5

    6

    15

    20

    40

    45

    Índice de mortalidad y

    0,2

    0,3

    0,3

    0,5

    0,7

    1,4

    1,5

     

    a)  Estudia la correlación entre x e y.

    b)  Halla la recta de regresión de y sobre x.

    c)  ¿Qué mortalidad se podría predecir para un consumidor de 60 cigarrillos diarios?

     

     

    Solución:

    a)  Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    3

    0,2

    9

    0,04

    0,6

    5

    0,3

    25

    0,09

    1,5

    6

    0,3

    36

    0,09

    1,8

    15

    0,5

    225

    0,25

    7,5

    20

    0,7

    400

    0,49

    14

    40

    1,4

    1600

    1,96

    56

    45

    1,5

    2025

    2,25

    67,5

    134

    4,9

    4320

    5,17

    148,9

     

    Medias (n = 7):

    Mx = Σxi/n = 134/7 = 19,14

    My = Σyi/n = 4,9/7 = 0,7

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (148,9/7) – 19,14·0,7 = 7,87

    Desviaciones típicas: 

    r = 7,87/15,8·0,5 = 0,996

    Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.

    b)  Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 0,7 + (7,87/15,82)·(x – 19,14)

    y = 0,7 + 0,032·(x – 19,14)

    y = 0,7 + 0,032 x – 0,6

    y = 0,032 x + 0,1

    c)    

    x = 60 → y = 0,032·60 + 0,1 ≈ 2

    Aunque el grado de correlación es alto, la predicción no es muy fiable ya que el valor de la variable está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [3, 45]).

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 05

     

    Las alturas y pesos de cinco alumnos varones de 1º de Bachillerato son:

    Alumno:

    A

    B

    C

    D

    E

    X

    Altura (m)

    1,67

    1,76

    1,63

    1,80

    1,60

    Y

    Peso (kg)

    60

    65,5

    55,1

    89,9

    49,9

     

    Hallar:

    a)  Coeficiente de correlación, y comentar el valor obtenido.

    b)  Recta de regresión de Y sobre X.

    c)  ¿Qué peso se espera de un alumno que mida 1,80 m?

     

     

    Solución:

    a)  Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy

    siendo:

    Covarianza: σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My         Medias: Mx = Σxi/n; My = Σyi/n

    Desviaciones típicas:

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi yi

    1,6

    49,9

    2,56

    2490,01

    79,84

    1,63

    55,1

    2,6569

    3036,01

    89,813

    1,67

    60

    2,7889

    3600

    100,2

    1,76

    65,5

    3,0976

    4290,25

    115,28

    1,8

    89,9

    3,24

    8082,01

    161,82

    8,46

    320,4

    14,3434

    21498,28

    546,953

     

    Mx = 8,46/5 = 1,69

    My = 320,4/5 = 64,1

    σxy = (546,953/5) – 1,69·64,1 = 1,06

    r = 1,06/0,1122·13,81 = 0,6841

    Existe correlación positiva, por tanto, cuando una variable aumenta la otra también. Como r no está próxima a 1, la correlación es débil, luego poco fiable.

    b)  Recta de regresión Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 64,1 + (1,06/0,013)·(x – 1,69)

    y = 64,1 + 81,54·(x – 1,69)

    y = 64,1 + 81,54 x – 137,80

    y = 81,54 x – 73,7

    c)  Estimaciones:

    x = 1,80 m → y = 81,54·1,80 – 73,7 ≈ 73,1 kg

    La estimación no es buena pues si nos fijamos en la tabla debería haber salido un peso aproximado a 89,9 kg. Esto es lógico pues la correlación es muy pequeña.