Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Aplicaciones. Estimaciones 01

     

    En la tabla adjunta da los alargamientos de una barra metálica por efecto de cambios en la temperatura. Calcular la recta de regresión y  efectuar las estimaciones y(55), x(4), y explica su significado.

    Temperatura (ºC)

    Alargamiento (mm)

    0

    0

    8

    1

    16

    2

    25

    3

    40

    5

    50

    6

    60

    7

    75

    9

     

     

     

    Solución:

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    0

    0

    0

    0

    0

    8

    1

    64

    1

    8

    16

    2

    256

    4

    32

    25

    3

    625

    9

    75

    40

    5

    1600

    25

    200

    50

    6

    2500

    36

    300

    60

    7

    3600

    49

    420

    75

    9

    5625

    81

    675

    274

    33

    14270

    205

    1710

     

    Temperatura = xi              Alargamiento = yi              n = 8

    Recta de regresión:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    Medias:

    Mx = Σxi/n = 274/8 = 34,25

    My = Σyi/n = 33/8 = 4,125

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1710/8) – 34,25·4,125 = 72,47

    Desviaciones típicas:

    Recta de regresión:

    y = 4,125 + (72,47/610,69)·(x – 34,25)

    y = 4,125 + 0,118 x – 4,06

    y = 0,118 x + 0,065

    Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy = 72,47/24,7·3 = 0,978

    Estimaciones:

    x = 55 → y = 0,118·55 + 0,065 ≈ 6,6 mm

    y = 4 → 4 = 0,118 x + 0,065 → x = (4 – 0,065)/0,118 ≈ 33,3

    Las estimaciones son buenas porque la correlación es muy grande. Además, x0 = 55 ºC está entre los valores manejados (entre 0ºC y 75ºC) y lo mismo le ocurre a y0 = 4 mm.

    No sería buena la estimación para, por ejemplo, x0 = 100ºC, y mucho menos para x0 = 200ºC.

     

     

  • Rectas de regresión 08

     

    Si no hay correlación entre n valores de dos variables x e y (r = 0), demuestra que las dos rectas de regresión son perpendiculares.

     

     

    Solución:

    Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + m·(x – Mx)

    Recta de regresión de X sobre Y:

    x = Mx + m’·(y – My)

    El coeficiente de correlación, r = σxyx·σy, se puede poner en función de las pendientes de regresión:

    m = σxyx2             m’ = σxyy2

    m·m’ = (σxyx2)·(σxyy2) = [(σxy)2]/σx2·σy2 = (σxyx·σy)2 = r2

    Como, en este caso, r = 0, puede suceder que m = 0, o bien, m’ = 0.

    En el primer caso:

    y = My + 0·(x – Mx) → y = My

    x = Mx + m’·(My – My) = Mx + m’·(0) → x = Mx

    Ambas rectas son perpendiculares.

    En el segundo caso:

    x = Mx + 0·(y – My) → x = Mx

    y = My + m·(0) → y = My

    Y las dos rectas también son perpendiculares.

    Nota: Mx y My son las medias de X y de Y, respectivamente.

     

     

  • Rectas de regresión 07

     

    Considera la serie estadística bidimensional:

    (xi, yj) = {(1, 4), (2, 5), (4, 3), (2, 0), (5, 4)}

    Calcular:

    a)  Las rectas de regresión.

    b)  El coeficiente de correlación.

    Interpreta el resultado.

     

     

    Solución:

    a)  Rectas de regresión.

    Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    Recta de regresión de X sobre Y:

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    xi

    yj

    xi2

    yj2

    xi·yj

    1

    4

    1

    16

    4

    2

    5

    4

    25

    10

    4

    3

    16

    9

    12

    2

    0

    4

    0

    0

    5

    4

    25

    16

    20

    14

    16

    50

    66

    46

     

    Medias:

    n = 5;          Mx = Σxi/n = 14/5 = 2,8;    My = Σyj/n = 16/5 = 3,2

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yj/n) – Mx·My = (46/5) – 2,8·3,2 = 0,24

    Varianzas:

    σx2 = (Σxi2/n) – Mx2 = (50/5) – 2,82 = 2,16

    σy2 = (Σyj2/n) – My = (66/5) – 3,22 = 2,96

    y = 3,2 + (0,24/2,16)·(x – 2,8)

    y = 3,2 + 0,11 x – 0,31 = 0,11 x + 2,89

    100 y = 11 x + 289

    11 x – 100 y – 289 = 0

    x – 9 y + 26 = 0

    En el último paso se ha redondeado.

    x = 2,8 + (0,24/2,96)·(y – 3,2)

    x = 2,8 + 0,081 y – 0,26 = 0,081 y + 2,54

    37 x = 3 y + 94 → 37 x – 3 y – 94 = 0

    En el último paso se ha multiplicado todos los términos por 37 y se ha redondeado.

    a)  Coeficiente de correlación.

    r = σxyx·σy

    Desviaciones típicas: 

    r = 0,24/1,47·1,72 = 0,095 < 0,5

    Dependencia estadística, pero la correlación no es significativa.

     

     

     

  • Rectas de regresión 06

     

    De una variable bidimensional (x, y) si se han  obtenido 6 pares de datos con los siguientes resultados:

    Σx = 21, Σy = 171, Σx2 = 91, Σy2 = 5803, Σx·y =723

    Hallar el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

     

     

    Solución:

    Medias:

    n = 6;          Mx = Σxi/n = 21/6 = 3,5;    My = Σyi/n = 171/6 = 28,5

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (723/6) – 3,5·28,5 = 20,75

    Desviaciones típicas:

    Coeficiente de correlación:

    r = σxy/σx· σy = 20,75/1,71·12,45 = 0,97

    Se trata de una correlación muy fuerte (muy cercana a 1).

    Recta de regresión de Y sobre X.

    Coeficiente de regresión:

    myx = σxy/σx2 = 20,75/1,712 = 7,1

      Centro de gravedad:

    (Mx, My) = (3,5; 28,5)

    Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:

    y = 28,5 + 7,1·(x – 3,5) = 28,5 + 7,1 x – 24,85

    y = 7,1 x + 3,65

     

     

     

  • Rectas de regresión 05

     

    Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son las siguientes:

    r: 0,83x – y = –0,97          s: x – 0,58 y = –0,28

    Demuestra que r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y.

     

     

    Solución:

    Supongamos que es al contrario, o sea, que s es la recta de regresión de Y sobre X, y r, la recta de regresión de X sobre Y y expresemos ambas rectas en forma explicita:

    r: x = (1/0,83) y – (0,97/0,83)     s: y = (1/0,58) x + (0,28/0,58)

     de donde se pueden obtener las respectivas pendientes, mxy = 1/0,83; myx = 1/0,58.

    Ahora bien: 

    r2 =  myx·mxy

    Como r no puede ser mayor que uno, la hipótesis es falsa y por tanto r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y como se quería demostrar.