Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas de regresión 01

     

    La siguiente tabla nos muestra los gastos de publicidad de un producto (X) en miles de euros y las ventas conseguidas (Y) en miles de euros.

    x

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    10

    17

    30

    28

    39

    47

     

    Calcula:

    a)  Centro de gravedad.

    b)  Covarianza.

    c)  Desviación típica de cada variable.

    d)  Correlación.

    e)  Recta de regresión de Y sobre X.

     

     

    Solución:

    Cuando nos piden todos los cálculos lo mejor es completar la siguiente tabla:

    x

    y

    x2

    y2

    x·y

    1

    10

    1

    100

    10

    2

    17

    4

    289

    34

    3

    30

    9

    900

    90

    4

    28

    16

    784

    112

    5

    39

    25

    1521

    195

    6

    47

    36

    2209

    282

    21

    171

    91

    5803

    723

     

    a)  Centro de gravedad de una distribución bidimensional (xc, yc), siendo: xc = Σxi/n,           yc = Σyi/n, n = número de datos = 6.

    xc = 21/6 = 3,5                 yc = 1716 = 28,5

    c. d. g. = (3,5; 28,5)

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – xc·yc

    σxy = (723/6) – 3,5·28,5 = 20,75

    b)  Desviación típica de cada variable:

    Desviación típica de x:

    Desviación típica de y:

    c)  Correlación:

    Coeficiente de correlación de dos variable:

    r = σxyx·σy = 20,75/1,71·12,45 = 0,97

    Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.

    d)  Recta de regresión de Y sobre X:

    y = yc + (σxyx2)·(x – xc)

    y = 28,5 + (20,75/1,712)·(x – 3,5)

     y = 28,5 + 7,1·(x – 3,5)

    y = 7,1 x + 3,65

     

     

  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 05

     ¿Qué significa que en una distribución bidimensional el coeficiente de correlación, r, sea:

    a)    r = 1;   b)  r = -1;   c)  r = 0,75;   d)  r = 0;   e)  r = 0,1;   f)  r = 0,9?

     

     

    Solución:

    Se ha de tener en cuenta que:

    Si r = –1 la dependencia es funcional.

    Si –1 < r < 0 la dependencia es aleatoria y es más fuerte a medida que r se aproxima a –1  y más débil si se aproxima a 0.

    Si r = 0 las variable X e Y son aleatoriamente independientes.

    Si 0 < r < 1 la dependencia es aleatoria y es más fuerte a medida que r se aproxima a 1 y más débil si se aproxima a 0.

    Si r = 1 la dependencia es funcional.

    Por todo lo anterior tenemos que:

    a)  Dependencia funcional positiva.

    b)  Dependencia funcional negativa.

    c)  Dependencia aleatoria positiva fuerte.

    d)  Independencia aleatoria.

    e)  Dependencia aleatoria positiva muy débil. (Prácticamente independencia aleatoria)

    f)   Dependencia aleatoria positiva y muy fuerte.

     

     

     

  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 04

     

    El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de correlación de esta nueva distribución?

     

     

    Solución:

    Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica que multiplicada  por el mismo número. Por tanto:

    luego el coeficiente de correlación no varía, por tanto: r = 0,87

     

     

     

  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 03

     

    Dada la serie bidimensional:

    X

    1

    1

    2

    3

    3

    3

    4

    4

    4

    5

    Y

    0

    2

    2

    0

    1

    3

    0

    2

    3

    4

     

    Se pide:

    a)  Tabular los datos.

    b)  Medias, varianzas y covarianza.

    c)  Coeficiente de correlación.

     

     

    Solución:

    a)  Tabulación de datos:

    b)  Distribución marginal de X:

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    1

    2

    2

    2

    2

    1

    2

    4

    3

    3

    9

    27

    4

    3

    12

    48

    5

    1

    5

    25

     

    10

    30

    106

     

    Media de X (Mx):

    Mx = (Σxi·fi/Σfi) = 30/10 = 3

    Varianza de X (σx2):

    σx2 = (Σxi2·fi/Σfi) – Mx2 = (106/10) – 32 = 1,6

    Distribución marginal de Y:

    yi

    0

    1

    2

    3

    4

     

    fi

    3

    1

    3

    2

    1

    10

    yi·fi

    0

    1

    6

    6

    4

    17

    yi2·fi

    0

    1

    12

    18

    16

    47

     

    Media de Y (My):

    My = (Σyi·fi/Σfi) = 17/10 = 1,7

    Varianza de Y (σy2):

    σy2 = (Σyi2·fi/Σfi) – My2 = (47/10) – 1,72 = 1,81

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi·fi/Σfi) – Mx·My

    Según la tabla inicial los productos xi, yi y sus frecuencias dan como resultado:

    (xi, yi)

    fi

    xi·yi·fi

    (1, 0)

    1

    (1)·(0)·1 = 0

    (1, 2)

    1

    2

    (2, 2)

    1

    4

    (3, 0)

    1

    0

    (3, 1)

    1

    3

    (3, 3)

    1

    9

    (4, 0)

    1

    0

    (4, 2)

    1

    8

    (4, 3)

    1

    12

    (5, 4)

    1

    20

     

    10

    58

     

    Luego:

    Σxi·yi·fi = 58

    σxy = (58/10) – 3·1,7 = 0,7

    c)  Coeficiente de correlación: 

    r = σxyx·σy

    r = 0,7/1,2649·1,3454 = 0,4113

     

     

  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 02

     

    El número de trasplantes de corazón realizados en España entre 1986 y 1992 se recoge en la tabla siguiente, donde X es el año e Y, el número de trasplantes anuales.

    X

    1986

    1987

    1988

    1989

    1990

    1991

    1992

    Y

    45

    53

    73

    97

    164

    232

    254

     

    a)  Representa el diagrama de dispersión de la distribución y describe el tipo de relación que existe entre las variables X e Y.

    b)  Calcula el coeficiente de Pearson. ¿Es coherente el resultado con el apartado anterior?

     

     

    Solución:

    a)     

    A la vista de la grafica se puede decir que existe una correlación positiva muy fuerte, luego fiable.

    b)  Coeficiente de Pearson, r = σxyx·σy, con:

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yifi/Σfi) – Mx·My

    Medias:

    Mx = Σxi·fi/Σfi                   My = Σyi·fi/Σfi

    Desviaciones típicas:

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    1986

    1

    1986

    3944196

    1987

    1

    1987

    3948169

    1988

    1

    1988

    3952144

    1989

    1

    1989

    3956121

    1990

    1

    1990

    3960100

    1991

    1

    1991

    3964081

    1992

    1

    1992

    3968064

     

    7

    13923

    27692875

     

    Media:

    Mx = 13923/7 = 1989

    Desviación típica:

    yi

    fi

    yi·fi

    yi2·fi

    45

    1

    45

    2025

    53

    1

    53

    2809

    73

    1

    73

    5329

    97

    1

    97

    9409

    164

    1

    164

    26896

    232

    1

    232

    53824

    254

    1

    254

    64516

     

    7

    918

    164808

     

    Media:         

    My = 918/7 = 131,143

    Desviación típica:

     (xi, yi)

    fi

    xi·yi·fi

    (1986, 45)

    1

    (1986)·(45)·1 = 89370

    (1987, 53)

    1

    105311

    (1988, 73)

    1

    145124

    (1989, 97)

    1

    192933

    (1990, 164)

    1

    326360

    (1991, 232)

    1

    461912

    (1992, 254)

    1

    505968

     

     

    1826978

     

    Covarianza: 

    σxy = (182697/7) – 1989·131,143 = 153,4301

    Coeficiente de Pearson:

    r = 153,4301/2·79,659 = 0,963

    El valor del coeficiente Pearson está muy próximo al uno, luego podemos decir que existe correlación positiva muy fuerte. Por lo tanto coherente con el resultado del apartado anterior.