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Tablas de doble entrada 01
Los datos al estudiar en 25 alumnos las variables X = nota final de Matemáticas e Y = nota final de Lengua son los siguientes:
(7,3; 8,2), (5,1; 4,8), (3,0; 3,0), (0,5; 1,6), (1,0; 1,2), (9,9; 9,2), (8,3; 9,8), (4,0; 5,3)
(2,1; 3,0), (6,5; 5,0), (5,4; 3,8), (5,0; 6,2), (3,9; 4,8), (2,1; 2,0), (7,0; 7,0), (8,2; 5,4)
(6,9; 4,3), (3,5; 6,1), (1,9; 2,2), (6,7; 7,3), (9,5; 8,4), (6,4; 5,8), (6,1; 7,2), (5,5; 5,0)
(7,8; 8,7)
Agrupa los datos en intervalos de clase y construye una tabla de doble entrada.
Solución:
Intervalos de clases para la variable X.
Recorrido de la variable: xmáx. – xmín. = 9,9 – 0,5 = 9,4
Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5 y 10). En este caso vamos a tomar 5.
Amplitud de cada intervalo:
9,4/5 = 1,88 ≈ 2
Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable X en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.
[0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)
Punto medio de cada intervalo de clase:
(0 + 2)/2 = 1 (2 + 4)/2 = 3 (4 + 6)/2 = 5 (6 + 8)/2 = 7 (8 + 10)/2 = 9
Los puntos hallados son las marcas de clase.
Intervalos de clases para la variable Y.
Recorrido de la variable Y: ymáx. – ymín. = 9,8 – 1,2 = 8,6
Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5 y 10). En este caso vamos a tomar 5.
Amplitud de cada intervalo:
8,6/5 = 1,72 ≈ 2
Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable Y en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.
[0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)
Punto medio de cada intervalo de clase:
(0 + 2)/2 = 1 (2 + 4)/2 = 3 (4 + 6)/2 = 5 (6 + 8)/2 = 7 (8 + 10)/2 = 9
Los puntos hallados son las marcas de clase.
Tabla de doble entrada.
Contamos los datos de la distribución cuyos valores de X e Y pertenezcan, respectivamente, a cada intervalo considerado (frecuencia absoluta) y los anotamos en la casilla correspondiente.
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Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 04
En una gasolinera estudian el número de vehículos que repostan a lo largo del día, obteniéndose los siguientes resultados:
Horas
[0, 4[
[4, 8[
[8, 12[
[12, 16[
[16, 20[
[20, 24[
Vehículos
1
2
11
18
23
5
a) Haz la representación gráfica que mejor se adapte a este estudio. ¿Cuál es su nombre?b) Calcula las medidas de centralización.c) Calcula las medidas de dispersión.d) ¿Qué conclusiones sacarías de los resultados obtenidos en los apartados anteriores?Solución:
Para encontrar todas las medidas que se nos piden, primero tabularemos los datos.
Intervalo
xi
fi
Fi
xi·fi
xi2·fi
[0, 4)
2
1
1
2
4
[4, 8)
6
2
3
12
72
[8, 12)
10
11
14
110
1100
[12,16)
14
18
32
252
3528
[16, 20)
18
23
55
414
7452
[20, 24]
22
5
60
110
2420
60
900
14576
a) La gráfica que mejor se adapta a este estudio es el histograma.
b) Medidas de centralización:
Media:
M = Σxi·fi/Σfi = 900/60 =15
Mediana:
Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:
Fi ≥ Σfi/2 = 60/2 = 30 → 32 ≥ 30 → 12 – 16
Clase mediana o intervalo mediana: 12 – 16
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Me = 12 + (16 – 12)·[(30 – 14)/21]
Me = 12 + (64/21) = 15
Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.
El intervalo modal o clase modal es 16 – 20
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
M0 = 16 + (20 – 16)·{(23 – 18)/[(23 – 18) + (23 – 5)]}
M0 = 16 + 4· [5/(5 + 18)] = 16 + (20/23) = 16,87
Medidas de dispersión:
Recorrido: 24 – 0 = 24
Varianza:
σ2 = (Σxi2·fi/Σfi) – M = (14576/60) – 152 = 17,93
Desviación típica o estándar:
c) El máximo número de vehículos que reposta se encuentra en el intervalo [16, 20) y el mínimo en el intervalo [0, 4). También se puede observar que el número de vehículos aumenta conforme avanza el día hasta las 20 horas que vuelve a decrecer.
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Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 03
Se ha obtenido un test de inteligencia a todos los alumnos de una clase. Las puntuaciones obtenidas son:
PUNTUACIONES
[10, 15[
[15, 20[
[20, 30[
[30, 40[
[40, 45[
[45, 60[
Nº ALUMNOS
6
6
10
5
10
3
a) Dibuja el histograma
b) Halla la media y la desviación típica.
Solución:
a) Como los intervalos no son del mismo tamaño, para representar el histograma debemos calcular las alturas de cada barra de manera que el área representada sea proporcional a la frecuencia.
altura = frecuencia/amplitud intervalo
a1 = 6/(15 – 10) = 6/5 = 1,2
a2 = 6/(20 – 15) = 6/5 = 1,2
a3 = 10/(30 – 20) = 1
a4 = 5/(40 – 30) = 0,5
a5 = 10/(45 – 40) = 2
a6 = 3/(60 – 45) = 3/15 = 0,2
b)
xi
fi
xi·fi
xi2·fi
12,5
6
75
937,5
17,5
6
105
1837,5
25
10
250
6250
35
5
175
6125
42,5
10
425
18062,5
52,5
3
157,5
8268,75
40
1187,5
41481,25
Media:
M = Σxi·fi/Σfi = 1187,5/40 = 29,7
Desviación típica:
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Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 02
Dados:
a) Los siguientes estudios realizados en la misma clase:
Nº horas que dedican al deporte al mes
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
Nº de alumnos
2
6
8
4
b) El número de libros que leen los alumnos de una clase:0, 0, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1
Realiza sus tablas de frecuencias, calcula las medidas de centralización y de dispersión y realiza con una de ellas un diagrama de barras y con la otra un diagrama de sectores.
Solución:
Media :
M = Σxi·fi/Σfi
Mediana:
Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:
Fi ≥ Σfi/2
Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.
Pero si se quiere calcular con mayor exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.
Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.
En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
Medidas de dispersión:
Desviación media:
D.M. = Σ|xi – M|/Σfi
Varianza:
σ2 = (Σfi·xi2/Σfi) – M2
Desviación típica:
a)
Intervalo
xi
fi
Fi
xi·fi
xi2·fi
|xi – M|
0 – 10
5
2
2
10
50
17
10 – 20
15
6
8
90
1350
7
20 – 30
25
8
16
200
5000
3
30 – 40
35
4
20
140
4900
13
20
440
11300
40
Medidas de centralización.
Media:
M = 440/20 = 22
Mediana:
Fi ≥ 20/2 = 10 → 16 ≥ 10 → 20 – 30
Clase mediana o intervalo mediana: 20 – 30
Me = 20 + (30 – 20)·[(10 – 8)/8] = 22,5
Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.
El intervalo modal o clase modal es 20 – 30
M0 = 20 + 10·{(8 – 6)/[(8 – 6) + (8 – 4)]}
M0 = 20 + (20/6) = 140/6 = 23,3
Medidas de dispersión:
Desviación media:
D. M. = 40/20 = 2
Varianza:
σ2 = (11300/20) – 222 = 81
Desviación típica:
Amplitud de los sectores:
[0, 10) = (360/20)·2 = 36º
[10, 20) = (360/20)·6 = 108º
[20, 30) = (360/20)·8 = 144º
[30, 40) = (360/20)·4 = 72º
Diagrama de sectores de la frecuencia absoluta.
b)
xi
fi
Fi
xi·fi
xi2·fi
|xi – M|
0
7
7
0
0
1
1
8
15
8
8
0
2
3
18
6
12
1
3
2
20
6
18
2
20
20
38
4
Medidas de centralización:
Media:
M = 20/20 = 1
Mediana:
Fi ≥ 20/2 = 10 → 15 ≥ 10 → xi = 1
Me = 15
Moda:
M0 = 1
Medidas de dispersión.
Desviación media:
D. M. = 4/20 = 0,2
Varianza:
σ2 = (38/20) – 12 = 0,9
Desviación típica:
Diagrama de barras de la frecuencia absoluta:
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Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 01
La distribución de pesos de 60 pacientes de un centro médico es la siguiente:
Kilos de peso
Número de pacientes
[50, 60[
3
[60, 70[
15
[70, 80[
20
[80, 90[
17
[90, 100[
4
[100, 110[
1
Realiza la representación gráfica de la distribución y halla la media y la desviación típica.
Solución:
Media :
M = Σxi·fi/Σfi
Desviación típica:
Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.
Intervalo
xi
fi
xi·fi
xi2·fi
50 – 60
55
3
165
9075
60 – 70
65
15
975
63375
70 – 80
75
20
1500
112500
80 – 90
85
17
1445
122825
90 – 100
95
4
380
36100
100 – 110
105
1
105
11025
60
4570
354900
Media:
M = Σxi·fi/Σfi = 4570/60 = 76,17
Desviación típica:
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