Tablas de doble entrada 01

Los datos al estudiar en 25 alumnos las variables X = nota final de Matemáticas e Y = nota final de Lengua son los siguientes:

(7,3; 8,2), (5,1; 4,8), (3,0; 3,0), (0,5; 1,6), (1,0; 1,2), (9,9; 9,2), (8,3; 9,8), (4,0; 5,3)

(2,1; 3,0), (6,5; 5,0), (5,4; 3,8), (5,0; 6,2), (3,9; 4,8), (2,1; 2,0), (7,0; 7,0), (8,2; 5,4)

(6,9; 4,3), (3,5; 6,1), (1,9; 2,2), (6,7; 7,3), (9,5; 8,4), (6,4; 5,8), (6,1; 7,2), (5,5; 5,0)

(7,8; 8,7)  

Agrupa los datos en intervalos de clase y construye una tabla de doble entrada.

Solución:

Intervalos de clases para la variable X.

Recorrido de la variable:  x_máx. – x_mín. =  9,9 – 0,5 = 9,4

Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

Amplitud de cada intervalo:

9,4/5 = 1,88 ≈ 2

Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable X en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

[0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)

Punto medio de cada intervalo de clase:

(0 + 2)/2 = 1     (2 + 4)/2 = 3    (4 + 6)/2 = 5    (6 + 8)/2 = 7    (8 + 10)/2 = 9

Los puntos hallados son las marcas de clase.

Intervalos de clases para la variable Y.

Recorrido de la variable Y:  y_máx. – y_mín. = 9,8 – 1,2 = 8,6

Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

Amplitud de cada intervalo:

8,6/5 = 1,72 ≈ 2

Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable Y en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

[0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)

Punto medio de cada intervalo de clase:

(0 + 2)/2 = 1     (2 + 4)/2 = 3    (4 + 6)/2 = 5    (6 + 8)/2 = 7    (8 + 10)/2 = 9

Los puntos hallados son las marcas de clase.

Tabla de doble entrada.

Contamos los datos de la distribución cuyos valores de X e Y pertenezcan, respectivamente, a cada intervalo considerado (frecuencia absoluta) y los anotamos en la casilla correspondiente.

Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 04

En una gasolinera estudian el número de vehículos que repostan a lo largo del día, obteniéndose los siguientes resultados:

Solución:

Para encontrar todas las medidas que se nos piden, primero tabularemos los datos.

a)  La gráfica que mejor se adapta a este estudio es el histograma.

b)  Medidas de centralización:

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 900/60 =15

Mediana:

Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

F_i ≥ Σf_i/2 = 60/2 = 30 → 32 ≥ 30 → 12 – 16

Clase mediana o intervalo mediana: 12 – 16

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

M_e = 12 + (16 – 12)·[(30 – 14)/21]

M_e = 12 + (64/21) = 15

Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

El intervalo modal o clase modal es 16 – 20

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

M₀ = 16 + (20 – 16)·{(23 – 18)/[(23 – 18) + (23 – 5)]}

M₀ = 16 + 4· [5/(5 + 18)] = 16 + (20/23) = 16,87

Medidas de dispersión:

Recorrido: 24 – 0 = 24

Varianza:

σ² = (Σx_i²·f_i/Σf_i) – M = (14576/60) – 15² = 17,93

Desviación típica o estándar:

c)  El máximo número de vehículos que reposta se encuentra en el intervalo [16, 20) y el mínimo en el intervalo [0, 4). También se puede observar que el número de vehículos aumenta conforme avanza el día hasta las 20 horas que vuelve a decrecer.

Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 03

Se ha obtenido un test de inteligencia a todos los alumnos de una clase. Las puntuaciones obtenidas son:

a)  Dibuja el histograma

b)  Halla la media y la desviación típica.

Solución:

a)  Como los intervalos no son del mismo tamaño, para representar el histograma debemos calcular las alturas de cada barra de manera que el área representada sea proporcional a la frecuencia.

altura = frecuencia/amplitud intervalo

a₁ = 6/(15 – 10) = 6/5 = 1,2

a₂ = 6/(20 – 15) = 6/5 = 1,2

a₃ = 10/(30 – 20) = 1

a₄ = 5/(40 – 30) = 0,5

a₅ = 10/(45 – 40) = 2

a₆ = 3/(60 – 45) = 3/15 = 0,2

b)    

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 1187,5/40 = 29,7

Desviación típica:

Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 02

Dados:

a)  Los siguientes estudios realizados en la misma clase:

0, 0, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1

Realiza sus tablas de frecuencias, calcula las medidas de centralización y de dispersión y realiza con una de ellas un diagrama de barras y con la otra un diagrama de sectores.

Solución:

Media :

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

F_i ≥ Σf_i/2

Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

Pero si se quiere calcular con mayor exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

Medidas de dispersión:

Desviación media:

D.M. = Σ|x_i – M|/Σf_i

Varianza:

σ² = (Σf_i·x_i²/Σf_i) – M²

Desviación típica:

a)     

Medidas de centralización.

Media:

M = 440/20 = 22

Mediana:

F_i ≥ 20/2 = 10 → 16 ≥ 10 → 20 – 30

Clase mediana o intervalo mediana: 20 – 30

M_e = 20 + (30 – 20)·[(10 – 8)/8] = 22,5

Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

El intervalo modal o clase modal es 20 – 30

M₀ = 20 + 10·{(8 – 6)/[(8 – 6) + (8 – 4)]}

M₀ = 20 + (20/6) = 140/6 = 23,3

Medidas de dispersión:

Desviación media:

D. M. = 40/20 = 2

Varianza:

σ² = (11300/20) – 22² = 81

Desviación típica:

Amplitud de los sectores:

[0, 10) = (360/20)·2 = 36º

[10, 20) = (360/20)·6 = 108º

[20, 30) = (360/20)·8 = 144º

[30, 40) = (360/20)·4 = 72º

Diagrama de sectores de la frecuencia absoluta.

b)     

Medidas de centralización:  

Media:

M = 20/20 = 1

Mediana:

F_i ≥ 20/2 = 10 → 15 ≥ 10 → x_i = 1

M_e = 15

Moda:

M₀ = 1

Medidas de dispersión.

Desviación media:

D. M. = 4/20 = 0,2

Varianza:

σ² = (38/20) – 1² = 0,9

Desviación típica:

Diagrama de barras de la frecuencia absoluta:

Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 01

La distribución de pesos de 60 pacientes de un centro médico es la siguiente:

Realiza la representación gráfica de la distribución y halla la media y la desviación típica.

Solución:

Media :

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Desviación típica:

Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 4570/60 = 76,17

Desviación típica: