Medidas de centralización de una variable continua 03

Dada la siguiente distribución:

Calcular:

a)  Media

b)  Medina

c)  Cuartiles

d)  Moda

Solución:

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

F_i ≥ Σf_i/2

Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

Ahora bien, si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

Pero, si los intervalos no tienen la misma amplitud, como sucede en este problema, debemos utilizas la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(k_i – k_{i, anterior})/[(k_i – k_{i, anterior}) + (k_i – k_{i, posterior}]}

Siendo:

k_i = frecuencia/amplitud

Por lo tanto, en este problema tenemos que:

k₁ = 4/(2 – 0) = 2; k₂ = 6/(4 – 2) = 3; k₃ = 4/(5 – 4) = 4

k₄ = 12/(7 – 5) = 6; k₅ = 9/(10 – 7) = 3

Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.

Marcas de clase:

x₁ = (0 + 2)/2 = 1; x₂ = (2 + 4)/2 = 3; x₃ = (4 + 5)/2 = 4,5

x₄ = (5 + 7)/2 = 6; x₅ = (7 + 10)/2 = 8,5

a)  Media aritmética:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 188,5/35 = 5,39

b)  Mediana:

Clase mediana o intervalo mediana.

F_i ≥ Σf_i/2 = 35/2 = 17,5 → 26 ≥ 17,5 → 5 – 7

M_e = 5 + (7 – 5)·{[(35/2) – 14]/12}

 M_e = 5 + 2·[(17,5 – 14)/12] = 5 + 2·(3,5/12) = 5 + (7/12) = 67/12

M_e = 5,58

También se puede hacer gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(M_e – 5)/(17,5 – 14) = (7 – 5)/(26 – 14)

(M_e – 5)/3,5 = 2/12

M_e – 5 = 7/12 → M_e = 5 + (7/12) = 67/12

M_e = 5,58

c)    Primer cuartil (Q₁):

El problema consiste en encontrar el valor del eje X al que le corresponde Σf_i/4 datos. El razonamiento es análogo al utilizado en el apartado anterior para el cálculo de la mediana tomando Σf_i/4 en vez de Σf_i/2.

F_i ≥ Σf_i/4 = 35/4 = 8,75 → 10 ≥ 8,75 → 2 – 4 

Q₁ = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/4) – F_i (anterior)]/f_i}

Q₁ = 2 + (4 – 2)·[(8,75 – 4)/6] = 2 + (9,5/6) = 21,5/6 = 3,58

Gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(Q₁ – 2)/(8,75 – 4) = (4 – 2)/(10 – 4)

(Q₁ – 2)/4,75 = 2/6 → Q₁ – 2 = 9,5/6

Q₁ = 2 + (9,5/6) → Q₁ = 21,5/6 = 3,58

Tercer cuartil (Q₃):

Este caso es como el anterior pero se toma 3·Σf_i/4 en vez de Σf_i/4.

F_i ≥ 3·Σf_i/4 = 3·35/4 = 26,25 → 35 ≥ 26,25 → 7 – 10  

Q₃ = Cota (inferior) + Amplitud·{[(3·Σf_i/4) – F_i (anterior)]/f_i}

Q₃ = 7 + (10 – 7)·[(26,25 – 26)/9] = 7 + (0,75/9) = 7,083

Gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(Q₃ – 7)/(26,25 – 26) = (10 – 7)/(35 – 26)

(Q₃ – 7)/0,25 = 3/9 → Q₃ – 7 = 0,25/3

Q₃ = 7 + (0,25/3) → Q₃ = 7,083

(Nota: Q₂ = M_e y Q₄ = Extremo superior del último intervalo, es decir, 10)

d)  Moda

El intervalo modal o clase modal será aquél cuya altura (k_i) sea la mayor, es decir:

5 – 7

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(k_i – k_{i, anterior})/[(k_i – k_{i, anterior}) + (k_i – k_{i, posterior})]}

M_o = 5 + (7 – 5)· {(6 – 4)/[(6 – 4) + (6 – 3)]}

M_o = 5 + (4/5) = 29/5 = 5,8

Gráficamente:

x/(6 – 4) = y/(6 – 3)

(M₀ – 5)/2 = (7 – M₀)/3

3 M₀ – 15 = 14 – 2 M₀

5 M₀ = 29 → M₀ = 29/5

M₀ = 5,8

Medidas de centralización de una variable continua 02

En la biblioteca de un centro se han tomado 100 libros y se ha contado el número de obras reseñadas en la bibliografía de cada uno de ellos, resultando la siguiente tabla:

Calcular:

a)  Media

b)  Mediana

c)  Moda

Solución:

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

F_i ≥ Σf_i/2

Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

a)  Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 4160/100 = 41,6

b)  Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

F_i ≥ Σf_i/2 = 100/2 = 50 → 65 ≥ 50 → 40 – 50

Clase mediana o intervalo mediana: 40 – 50

La mediana está en el intervalo [40 – 50) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

M_e = 45

Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

M_e = 40 + (50 – 40)·[(50 – 44)/21]

M_e = 40 + (60/21) = 900/21 = 42,86

También se puede obtener gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(M_e – 40)/(50 – 44) = (50 – 40)/(65 – 44)

(M_e – 40)/6 = 10/21 → M_e – 40 = 60/21 

M_e = 40 + (60/21) = (60 + 840)/21 

M_e = 900/21 = 42,86 

c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

El intervalo modal o clase modal es 40 – 50.

Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

M₀ = 40 + (50 – 40)·{(21 – 14)/[(21 – 14) + (21 – 16)]}

M₀ = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

También se puede obtener gráficamente:

x/(21 – 14) = y/(21 – 16) → x/7 = [(50 – 40) – x]/5

x/7 = (10 – x)/5 → 5 x = 70 – 7 x

12 x = 70 → x = 70/12

M₀ = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

Medidas de centralización de una variable continua 01

Dada la siguiente distribución:

a)  Media

b)  Medina

c)  Moda

Solución:

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

F_i ≥ Σf_i/2

Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.

Marcas de clase:

x₁ = (0 + 4)/2 = 2; x₂ = (4 + 8)/2 = 6; x₃ = (8 + 12)/2 = 10

x₄ = (12 + 16)/2 = 14; x₅ = (16 + 20)/2 = 18; x₅ = (20 + 24)/2 = 22  

a)  Media aritmética:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 672/50 = 13,44

b)  Mediana:

Hay que buscar el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

F_i ≥ Σf_i/2 = 50/2 = 25 → 31 ≥ 25 → 12 – 16

Clase mediana o intervalo mediana: 12 – 16

La mediana está en el intervalo [12 – 16) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

M_e = 14

Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

M_e = 12 + (16 – 12)·[(25 – 19)/50]

M_e = 12 + (24/50) = 12,48

c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

El intervalo modal o clase modal es 12 – 16.

Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

M₀ = 12 + (16 – 12)·{(11 – 8)/[(11 – 8) + (11 – 10)]}

M₀ = 12 + 4· [3/(3 + 1)] = 15

Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 06

Un dentista examina a unos cuantos niños de los 350 que hay en un colegio, para detectar el número de caries de cada uno:

a)  Diferencia claramente entre la población y la muestra del estudio estadístico anterior. Indica cuál es la variable y de qué tipo es.

b)  ¿Cuál es el número medio de caries por niño?

c)  ¿Qué desviación típica tiene esta variable? Indica cuál es el recorrido.

d)  Halla el coeficiente de variación y el intervalo de normalidad estadística.

Solución:

a)  Población: Los 350 niños.

Muestra: Los 100 niños examinados.

Variable: El número de caries.

Tipo: Cuantitativa discreta.

b)     

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i

M = 155/100 = 1,55

c)  Desviación típica:

Recorrido = 4 – 0 = 4 caries

d)  Coeficiente de variación:

C. V. = σ/M = 1,16/1,55 = 0,75 → 75%

Intervalo de normalidad:

(M – σ, M + σ) = (1,55 – 1,16; 1,55 + 1,16) = (0,39; 2,71)

Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 05

Calcula la moda, mediana, media, desviación media, rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación de la siguiente tabla:

Solución:

Moda (M_o) es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta (f_i).

Mediana (M_e):

Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (F_i) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

M_e ≥ F_i/2

Media (M):

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Desviación media (D_M):

D_M = Σ|x_i – M|/Σf_i

Rango o recorrido:

Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

Varianza:

σ² = (Σx_i²/Σf_i) – M²

Desviación típica:

Coeficiente de variación (C. V):

C. V = σ/M

Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas que se deben hallar, realizaremos la siguiente tabla:

Moda:

M₀ = {1, 2} (es una distribuación bimodal)

Mediana:

F_i ≥ 50/2 = 25 → 27 ≥ 25, luego: M_e = 1

Media:

M = 71/50 = 1,42

Desviación media:

D_M = 6,58/50 = 0,1316

Rango:

4 – 0 = 4

Varianza:

σ² = (165/50) – 1,42² = 1,2836

Desviación típica:

Coeficiente de variación:

C. V. = 1,133/1,42 = 0,8 → 80%