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Medidas de centralización de una variable continua 03
Dada la siguiente distribución:
Intervalos
fi
0 – 2
4
2 – 4
6
4 – 5
4
5 – 7
12
7 – 10
9
Calcular:
a) Media
b) Medina
c) Cuartiles
d) Moda
Solución:
Media:
M = Σxi·fi/Σfi
Mediana:
Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:
Fi ≥ Σfi/2
Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.
Ahora bien, si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.
En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
Pero, si los intervalos no tienen la misma amplitud, como sucede en este problema, debemos utilizas la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(ki – ki, anterior)/[(ki – ki, anterior) + (ki – ki, posterior]}
Siendo:
ki = frecuencia/amplitud
Por lo tanto, en este problema tenemos que:
k1 = 4/(2 – 0) = 2; k2 = 6/(4 – 2) = 3; k3 = 4/(5 – 4) = 4
k4 = 12/(7 – 5) = 6; k5 = 9/(10 – 7) = 3
Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.
Marcas de clase:
x1 = (0 + 2)/2 = 1; x2 = (2 + 4)/2 = 3; x3 = (4 + 5)/2 = 4,5
x4 = (5 + 7)/2 = 6; x5 = (7 + 10)/2 = 8,5
Intervalos
xi
fi
Fi
ki
xi·fi
0 – 2
1
4
4
2
4
2 – 4
3
6
10
3
18
4 – 5
4,5
4
14
4
18
5 – 7
6
12
26
6
72
7 – 10
8,5
9
35
3
76,5
35
188,5
a) Media aritmética:
M = Σxi·fi/Σfi = 188,5/35 = 5,39
b) Mediana:
Clase mediana o intervalo mediana.
Fi ≥ Σfi/2 = 35/2 = 17,5 → 26 ≥ 17,5 → 5 – 7
Me = 5 + (7 – 5)·{[(35/2) – 14]/12}
Me = 5 + 2·[(17,5 – 14)/12] = 5 + 2·(3,5/12) = 5 + (7/12) = 67/12
Me = 5,58
También se puede hacer gráficamente:
Aplicando el teorema de Thales:
(Me – 5)/(17,5 – 14) = (7 – 5)/(26 – 14)
(Me – 5)/3,5 = 2/12
Me – 5 = 7/12 → Me = 5 + (7/12) = 67/12
Me = 5,58
c) Primer cuartil (Q1):
El problema consiste en encontrar el valor del eje X al que le corresponde Σfi/4 datos. El razonamiento es análogo al utilizado en el apartado anterior para el cálculo de la mediana tomando Σfi/4 en vez de Σfi/2.
Fi ≥ Σfi/4 = 35/4 = 8,75 → 10 ≥ 8,75 → 2 – 4
Q1 = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/4) – Fi (anterior)]/fi}
Q1 = 2 + (4 – 2)·[(8,75 – 4)/6] = 2 + (9,5/6) = 21,5/6 = 3,58
Gráficamente:
Aplicando el teorema de Thales:
(Q1 – 2)/(8,75 – 4) = (4 – 2)/(10 – 4)
(Q1 – 2)/4,75 = 2/6 → Q1 – 2 = 9,5/6
Q1 = 2 + (9,5/6) → Q1 = 21,5/6 = 3,58
Tercer cuartil (Q3):
Este caso es como el anterior pero se toma 3·Σfi/4 en vez de Σfi/4.
Fi ≥ 3·Σfi/4 = 3·35/4 = 26,25 → 35 ≥ 26,25 → 7 – 10
Q3 = Cota (inferior) + Amplitud·{[(3·Σfi/4) – Fi (anterior)]/fi}
Q3 = 7 + (10 – 7)·[(26,25 – 26)/9] = 7 + (0,75/9) = 7,083
Gráficamente:
Aplicando el teorema de Thales:
(Q3 – 7)/(26,25 – 26) = (10 – 7)/(35 – 26)
(Q3 – 7)/0,25 = 3/9 → Q3 – 7 = 0,25/3
Q3 = 7 + (0,25/3) → Q3 = 7,083
(Nota: Q2 = Me y Q4 = Extremo superior del último intervalo, es decir, 10)
d) Moda
El intervalo modal o clase modal será aquél cuya altura (ki) sea la mayor, es decir:
5 – 7
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(ki – ki, anterior)/[(ki – ki, anterior) + (ki – ki, posterior)]}
Mo = 5 + (7 – 5)· {(6 – 4)/[(6 – 4) + (6 – 3)]}
Mo = 5 + (4/5) = 29/5 = 5,8
Gráficamente:
x/(6 – 4) = y/(6 – 3)
(M0 – 5)/2 = (7 – M0)/3
3 M0 – 15 = 14 – 2 M0
5 M0 = 29 → M0 = 29/5
M0 = 5,8
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Medidas de centralización de una variable continua 02
En la biblioteca de un centro se han tomado 100 libros y se ha contado el número de obras reseñadas en la bibliografía de cada uno de ellos, resultando la siguiente tabla:
Calcular:
a) Media
b) Mediana
c) Moda
Solución:
Media:
M = Σxi·fi/Σfi
Mediana:
Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:
Fi ≥ Σfi/2
Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.
Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.
Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.
En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.
Intervalos
xi
fi
Fi
xi·fi
0 – 10
5
8
8
40
20 – 30
15
12
20
180
20 – 30
25
10
30
250
30 – 40
35
14
44
490
40 – 50
45
21
65
945
50 – 60
55
16
81
880
60 – 70
65
10
91
650
70 – 80
75
5
96
375
80 – 90
85
3
99
255
90 – 100
95
1
100
95
100
4160
a) Media:
M = Σxi·fi/Σfi = 4160/100 = 41,6
b) Mediana:
Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:
Fi ≥ Σfi/2 = 100/2 = 50 → 65 ≥ 50 → 40 – 50
Clase mediana o intervalo mediana: 40 – 50
La mediana está en el intervalo [40 – 50) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:
Me = 45
Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Me = 40 + (50 – 40)·[(50 – 44)/21]
Me = 40 + (60/21) = 900/21 = 42,86
También se puede obtener gráficamente:
Aplicando el teorema de Thales:
(Me – 40)/(50 – 44) = (50 – 40)/(65 – 44)
(Me – 40)/6 = 10/21 → Me – 40 = 60/21
Me = 40 + (60/21) = (60 + 840)/21
Me = 900/21 = 42,86
c) Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.
El intervalo modal o clase modal es 40 – 50.
Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
M0 = 40 + (50 – 40)·{(21 – 14)/[(21 – 14) + (21 – 16)]}
M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83
También se puede obtener gráficamente:
x/(21 – 14) = y/(21 – 16) → x/7 = [(50 – 40) – x]/5
x/7 = (10 – x)/5 → 5 x = 70 – 7 x
12 x = 70 → x = 70/12
M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83
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Medidas de centralización de una variable continua 01
Dada la siguiente distribución:
Intervalos
fi
0 – 4
5
4 – 8
6
8 – 12
8
12 – 16
12
16 – 20
10
20 – 24
9
Calcular:a) Media
b) Medina
c) Moda
Solución:
Media:
M = Σxi·fi/Σfi
Mediana:
Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:
Fi ≥ Σfi/2
Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.
Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.
Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.
En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.
Marcas de clase:
x1 = (0 + 4)/2 = 2; x2 = (4 + 8)/2 = 6; x3 = (8 + 12)/2 = 10
x4 = (12 + 16)/2 = 14; x5 = (16 + 20)/2 = 18; x5 = (20 + 24)/2 = 22
Intervalos
xi
fi
Fi
xi·fi
0 – 4
2
5
5
10
4 – 8
6
6
11
36
8 – 12
10
8
19
80
12 – 16
14
12
31
168
16 – 20
18
10
41
180
20 – 24
22
9
50
198
50
672
a) Media aritmética:
M = Σxi·fi/Σfi = 672/50 = 13,44
b) Mediana:
Hay que buscar el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:
Fi ≥ Σfi/2 = 50/2 = 25 → 31 ≥ 25 → 12 – 16
Clase mediana o intervalo mediana: 12 – 16
La mediana está en el intervalo [12 – 16) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:
Me = 14
Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Me = 12 + (16 – 12)·[(25 – 19)/50]
Me = 12 + (24/50) = 12,48
c) Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.
El intervalo modal o clase modal es 12 – 16.
Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
M0 = 12 + (16 – 12)·{(11 – 8)/[(11 – 8) + (11 – 10)]}
M0 = 12 + 4· [3/(3 + 1)] = 15
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Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 06
Un dentista examina a unos cuantos niños de los 350 que hay en un colegio, para detectar el número de caries de cada uno:
Caries
Niños
0
25
1
20
2
35
3
15
4
5
a) Diferencia claramente entre la población y la muestra del estudio estadístico anterior. Indica cuál es la variable y de qué tipo es.
b) ¿Cuál es el número medio de caries por niño?
c) ¿Qué desviación típica tiene esta variable? Indica cuál es el recorrido.
d) Halla el coeficiente de variación y el intervalo de normalidad estadística.
Solución:
a) Población: Los 350 niños.
Muestra: Los 100 niños examinados.
Variable: El número de caries.
Tipo: Cuantitativa discreta.
b)
xi
fi
xi·fi
xi2·fi
0
25
0
0
1
20
20
20
2
35
70
140
3
15
45
135
4
5
20
80
Total
100
155
375
Media:
M = Σxi·fi/Σfi
M = 155/100 = 1,55
c) Desviación típica:
Recorrido = 4 – 0 = 4 caries
d) Coeficiente de variación:
C. V. = σ/M = 1,16/1,55 = 0,75 → 75%
Intervalo de normalidad:
(M – σ, M + σ) = (1,55 – 1,16; 1,55 + 1,16) = (0,39; 2,71)
-
Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 05
Calcula la moda, mediana, media, desviación media, rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación de la siguiente tabla:
xi
fi
0
13
1
14
2
14
3
7
4
2
Solución:
Moda (Mo) es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta (fi).
Mediana (Me):
Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:
Me ≥ Fi/2
Media (M):
M = Σxi·fi/Σfi
Desviación media (DM):
DM = Σ|xi – M|/Σfi
Rango o recorrido:
Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.
Varianza:
σ2 = (Σxi2/Σfi) – M2
Desviación típica:
Coeficiente de variación (C. V):
C. V = σ/M
Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas que se deben hallar, realizaremos la siguiente tabla:
xi
fi
Fi
xi·fi
xi2·fi
|xi – M|
0
13
13
0
0
1,42
1
14
27
14
14
0,42
2
14
41
28
56
0,58
3
7
48
21
63
1,58
4
2
50
8
32
2,58
50
71
165
6,58
Moda:
M0 = {1, 2} (es una distribuación bimodal)
Mediana:
Fi ≥ 50/2 = 25 → 27 ≥ 25, luego: Me = 1
Media:
M = 71/50 = 1,42
Desviación media:
DM = 6,58/50 = 0,1316
Rango:
4 – 0 = 4
Varianza:
σ2 = (165/50) – 1,422 = 1,2836
Desviación típica:
Coeficiente de variación:
C. V. = 1,133/1,42 = 0,8 → 80%
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