Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de dispersión de una variable discreta 02

     

    Halla las medidas de dispersión de esta distribución de datos: 2,5; 4,4; 6,2; 7,2; 1,3; 5,7.

     

     

    Solución:

    Recorrido o rango:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Desviación media:

    DM = Σ|xi – M|/n

    siendo M = Σxi/n (la media)

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/n) – M2

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas de dispersión realizaremos la siguiente tabla, teniendo en cuenta que n = 6:

     

    xi

    x12

    M

    |xi – M|

    1,3

    1,69

    27,3/6 = 4,55

    3,25

    2,5

    6,25

    4,55

    2,05

    4,4

    19,36

    4,55

    0,15

    5,7

    32,49

    4,55

    1,15

    6,2

    38,44

    4,55

    1,65

    7,2

    51,84

    4,55

    2,65

    27,3

    150,07

     

    10,90

     
     

    Recorrido:

    7,2 – 1,3 = 5,9

    Desviación media:

    DM = 10,90/6 = 1,82

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (150,07/6) – 4,552 = 4,31

     

     

  • Medidas de dispersión de una variable discreta 01

     

    Halla las medidas de dispersión de esta distribución de pesos: 83, 65, 72, 70, 80, 75, 90, 68.

     

     

    Solución:

    Recorrido o rango:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Desviación media:

    DM = Σ|xi – M|/n

    siendo M = Σxi/n (la media)

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/n) – M2

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas de dispersión realizaremos la siguiente tabla, teniendo en cuenta que n = 8:

     

    xi

    x12

    M

    |xi – M|

     65 

    4225

    603/8 = 75,375

    10,375

    68

    4624

    75,375

    7,375

    70

    4900

    75,375

    5,375

    72

    5184

    75,375

    3,375

    75

    5625

    75,375

    0,375

    80

    6400

    75,375

    4,625

    83

    6889

    75,375

    7,625

    90

    8100

    75,375

    14,625

    603

    45947

     

    53,75

     

     

    Recorrido:

    90 – 65 = 25

    Desviación media:

    DM = 53,75/8 = 6,71875

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (45947/8) – 75,3752 = 61,98

     

     

  • Medidas de centralización de una variable discreta 09

     

    La distribución adjunta representa los tiempos de combustión de mechas para pólvora de un metro de longitud. Los tiempos están tomados en segundos y la combustión se realiza en el aire y con 1000 mechas.

    Tiempo

    85

    86

    87

    88

    89

    90

    91

    92

    93

    94

    95

    Nº de observaciones

    3

    16

    53

    128

    215

    233

    149

    120

    59

    16

    8

     
    Calcular la media aritmética utilizando el procedimiento general y el procedimiento abreviado.

     

     

    Solución:

    Se construye la siguiente tabla:

    xi

    fi

    x1·fi

    xi – x0

    xi

    xi’·fi

    85

    3

    255

    0

    0

    0

    86

    16

    1376

    1

    1

    16

    87

    53

    4611

    2

    2

    106

    88

    128

    11264

    3

    3

    384

    89

    215

    19135

    4

    4

    860

    90

    233

    20970

    5

    5

    1165

    91

    149

    13559

    6

    6

    894

    92

    120

    11040

    7

    7

    840

    93

    59

    5487

    8

    8

    472

    94

    16

    1504

    9

    9

    144

    95

    8

    760

    10

    10

    80

    Total

    1000

    89961

    4961

     

     

    a)  Por el procedimiento general:

    M = Σxi·fi/Σfi = 89961/1000 = 89,961

    b)  Por el procedimiento abreviado:

    con xi’ = (xi – x0)/a y a la amplitud cuando se trata de intervalos. En este caso a = 1

    M = 85 + 1·(4961/1000) = 85 + 4,961 = 89,961

     

     

  • Medidas de centralización de una variable discreta 08

     

    Supongamos dos series estadísticas del lanzamiento de un dado:

     

    Valor

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Caso A

    Frecuencia

    3

    4

    6

    2

    5

    7

    Caso B

    Frecuencia

    4

    4

    6

    2

    5

    7

     

    Hallar la media, la moda y la mediana.

     

     

    Solución:

    Primero realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    fi

    Fi

    Fi

    xi·fi

    xi·fi

    1

    3

    4

    3

    4

    3

    4

    2

    4

    4

    7

    8

    8

    8

    3

    6

    6

    13

    14

    18

    18

    4

    2

    2

    15

    16

    8

    8

    5

    5

    5

    20

    21

    25

    25

    6

    7

    7

    27

    28

    42

    42

     

    27

    28

     

     

    104

    105

    Caso A:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 104/27 = 3,85

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta, luego:

    M0 = 6

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos.

    Fi ≥ Σfi/2 = 27/2 = 13,5 → 15 ≥ 15 → xi = 4

    Por tanto:

    Me = 4

    Caso B:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 105/28 = 3,75

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta, luego:

    M0 = 6

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos.

    Fi ≥ Σfi/2 = 28/2 = 14

    Como 14 coincide con la frecuencia absoluta de valor 3, la media vendrá dada por la semisuma de 3 y su valor inmediato 4.

    Por tanto:

    Me = (3 + 4)/2 = 3,5

     

     

  • Medidas de centralización de una variable discreta 07

     

    En las pruebas de Selectividad, los alumnos de un centro obtuvieron las siguientes puntuaciones:

    Puntuaciones

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    Nº de alumnos

    3

    7

    10

    15

    23

    18

    15

    9

    5

    Calcular:

    a)  Media

    b)  Mediana

    c)  Moda

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Para facilitar los cálculos realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    0

    3

    3

    0

    1

    7

    10

    7

    2

    10

    20

    20

    3

    15

    35

    45

    4

    23

    58

    92

    5

    18

    76

    90

    6

    15

    91

    90

    7

    9

    100

    63

    8

    5

    105

    40

     

    105

     

    447

    a)  Media:

    M = 447/105 = 4,26

    b)  Mediana:

    Fi ≥ 105/2 = 52,5 → 58 ≥ 52,5 → xi = 4

    Me = 4

    c)  Moda:

    M0 = 4