Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Tipificación de una variable aleatoria normal 05

     

    Demuestra que si X es una variable aleatoria con distribución N(μ,σ),  para cualquiera parámetros μ y σ se cumple que:

    a)  P[μσ ≤ X ≤ μ + σ] = 0,6826

    b)  P[μ – 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ] = 0,9544

    c)  P[μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ] = 0,9974

     

     

    Solución:

    Como se trata de un distribución normal N(μ,σ), primero tipificaremos X y después usaremos la tablas N(0, 1)

    a)       

    b)      

    c)     

     

     

     

  • Tipificación de una variable aleatoria normal 04

     

    Si X es una variable aleatoria del tipo N(3, 12), halla k en cada uno de los siguientes casos:

    a)  P[X ≤ k] = 0,6803

    b)  P[–3 ≤ X ≤ k] = 0,6826

    c)  P[X ≤ k] = 0,1210

    d)  P[X ≥ k] = 0,5

     

     

    Solución:

    a)     

    (k – 3)/12 = 0,47

    k – 3 = 5,64

    k = 8,64

    b)        

     (k – 3)/12 = 2,37

    k – 3 = 28,44

    k = 31,44

    c)     

    Al consultar el valor dado en la tabla de los valores de la distribución normal, N(0, 1), se puede observar que 0,1210 no aparece y además es menor que 0,5 por lo que deducimos que k’ = (k – 3)/12 es negativo.

    La probabilidad dada es igual al área sombreada.

    –k’ = 1,17

    (k – 3)/12 = –1,17

    k – 3 = –14,04

    k = –11,04

    d)   

     (k – 3)/12 = 0

    k – 3 = 0

    k = 3

     

     

     

  • Tipificación de una variable aleatoria normal 03

     

    Si X es una variable aleatoria con distribución normal de media μ y varianza σ2, halla:

    a)  P[μσ ≤ X ≤ μ + σ]

    b)  P[μ – 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ]

    c)  P[μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ]

     

     

    Solución:

    Se trata de un distribución normal N(μ,σ), por tanto:

    a)      

    b)     

    c)   

     

     

     

  • Tipificación de una variable aleatoria normal 02

     

    En una distribución N (110, 10), calcula:

    a)  P[90 < X < 120]

    b)  P[X > 110]

    c)  P[110 < X < 120]

    d)  P[110 < X < 130]

    e)  P[120 < X < 130]

    f)   P[90 < X < 100]

    g)  P[X < 100]

     

     

    Solución:

    Si se desean realizar cálculos con una distribución normal N(m,s), se tipifica la variable mediante el siguiente cambio

    siendo: μ = media, σ = desviación típica, de X

    En este problema: μ = 110 y σ = 10

    a)             

    b)       

    c)     

    d)     

    e)     

    f)        

    g)       

     

     

     

  • Tipificación de una variable aleatoria normal 01

     

    Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución N(9, 4), halla el valor de P[X ≤ 3], P[X ≥ 7] y P[10 ≤ X ≤ 14] tipificando, primero, la variable y usando, después, la tabla de la normal tipificada.

     

     

    Solución:

    Si se desean realizar cálculos con una distribución normal N(m, s), se tipifica la variable mediante el siguiente cambio

    siendo: μ = media, σ = desviación típica, de X

    En este problema: μ = 9 y σ = 4